Параметры материала слоев: общие: ; ; ;
специфические: а,б,в,г - ; ; д,е,ж,з - ; .
Частоты: а,д - ; б,е - ; в,ж - ; г,з - .
Такое поведение амплитуд обусловлено последовательным переходом волны из менее плотной среды в более плотную и обратно при условии сохранения потока энергии [19-22]. Так в случае большой диэлектрической проницаемости барьер представляет собой среду более плотную, чем промежуток, а в случае большой магнитной - менее плотную. То есть в первом случае адмиттанс барьера по сравнению с адмиттансом промежутка велик, а во втором - мал. В математическом отношении это обусловлено тем, что в выражении для адмиттанса [2, форм.(3)] под корнем диэлектрическая проницаемость находится в числителе, а магнитная - в знаменателе.
Аналогичным образом, амплитуды в правом столбце в среднем выше амплитуд в левом из-за того, что в правом столбце относительно слоя №1, то есть слоя исхода волны, преобладают барьеры с малой плотностью, а в левом - с большой. Другими словами, усредненная по всей структуре плотность в правом столбце меньше плотности первого слоя, а в левом - больше. Таким образом, здесь выполняется то же правило увеличения амплитуды при переходе от менее плотной среды к более плотной и обратно, что и для соседствующих слоев, но уже относительно всей структуры в целом по отношению к плотности первого слоя, где амплитуда задана условиями возбуждения.
6. Тензорная магнитная проницаемость
Теперь, когда основные свойства электромагнитной волны в многослойной структуре со скалярной магнитной проницаемостью, в основном рассмотрены, обратимся к случаю, когда эта проницаемость имеет тензорный характер. В качестве предварительного этапа рассмотрим общие свойства электромагнитной волны в тензорной среде, необходимые для получения волновых чисел и адмиттансов в отдельных слоях структуры.
7. Волна в среде с тензорными параметрами
В большинстве сред магнитная проницаемость имеет гиротропный тензорный характер, поэтому рассмотрим сначала свойства электромагнитной волны в подобной среде. Для симметрии математического аппарата будем полагать среду бигиротропной, то есть такой, у которой как магнитная, так и диэлектрическая проницаемости обладают гиротропными свойствами.
Введем декартову систему координат и направим ось вдоль общей оси гиротропии, как это иллюстрируется рис.3.
Рис.3. Общая геометрия задачи. АВ - ось гиротропии.
В такой геометрии тензоры проницаемостей для бигиротропной среды имеют вид [7-9]:
; (2)
; (3)
электромагнитный волна магнитодиэлектрический
Уравнения электродинамики в системе СИ в среде с тензорными параметрами имеют вид [23-29]:
; (4)
, (5)
где: и - электрическое и магнитное поля, и - тензорные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, и - электрическая и магнитная постоянные в системе СИ.
Среда предполагается однородной, компоненты тензоров могут быть комплексными. Полагая зависимость от времени в виде , получаем:
; (6)
. (7)
Составляющие правых частей уравнений (6) и (7) имеют вид:
; (8)
. (9)
Записывая уравнения (6)-(7) по компонентам, получаем:
; (10)
; (11)
; (12)
; (13)
; (14)
. (15)
Положим, что координатно-временная составляющая волны имеет вид:
. (16)
При этом получаем:
, , . (17)
Из (10)-(15), раскрывая скобки, перенося все слагаемые в левую часть и обозначая через , амплитуды полей волны, получаем:
; (18)
; (19)
; (20)
; (21)
; (22)
. (23)
Это - основная система уравнений для волны, распространяющейся в произвольном направлении в бигиротропной среде, имеющей ось гиротропии вдоль оси . Частные случаи подобной системы для несколько другой геометрии приведены в работах [7-9, 11,12]. В работах [13,14] близкая система использовалась для исследования распространения волн в композиционной среде, содержащей ферритовые элементы в условиях ориентационного перехода. В настоящей работе эта система полагается в основу задачи о многослойной среде с магнитными параметрами.
8. Ориентация волнового вектора по нормали к оси гиротропии
Рассмотрим теперь более простой частный случай - плоскую волну, волновой вектор которой ориентирован по нормали к оси гиротропии, то есть в плоскости при . Из (18)-(23) получаем:
; (24)-1
; (25)-2
; (26)-3
; (27)-4
; (28)-5
. (29)-6
Эту систему уравнений можно разбить на две независимые группы - одну, содержащую только , , - уравнения (24)-1, (25)-2, (29)-6, другую - содержащую только , , - уравнения (26)-3, (27)-4, (28)-5. Умножаем уравнения (24)-1, (26)-3, (29)-6 на , (27)-4 на , (28)-5 на , (25)-2 - оставляем без изменения. Объединяя уравнения в две группы, получаем две независимые системы уравнений, каждая из которых описывает свою независимую волну:
ГИРОМАГНИТНАЯ:
; (30)-1
; (31)-2
. (32)-6
ГИРОЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ:
; (33)-4
; (34)-5
. (35)-3
Поскольку в данной задаче (многослойная структура с магнитными свойствами) главный интерес представляют вариации именно магнитной проницаемости, то будем считать диэлектрическую проницаемость скалярной величиной , то есть в выражении (32) положим , . Таким образом, дальше ограничимся рассмотрением только гиромагнитной волны.
9. Поля гиромагнитной волны
Рассмотрим гиромагнитную волну, геометрия полей для которой, совпадающая с принятой в [11-14], показана на рис.4.
Рис.4. Геометрия полей для гиромагнитной волны.
Здесь гиротропия обеспечивается магнитным полем , направленным вдоль оси , волновой вектор лежит в плоскости , электрическое поле волны направлено вдоль оси , а магнитное - лежит в плоскости .
Система уравнений для , , имеет вид:
; (36)
; (37)
. (38)
Из условия равенства нулю детерминанта этой системы получаем дисперсионное соотношение:
. (39)
Система (36)-(38) является однородной (справа - нули) и содержит три уравнения для трех неизвестных, поэтому два неизвестных можно выразить через третье. Полагая заданным , получаем систему для определения и :
; (40)
; (41)
, (42)
решая которую находим поля гиромагнитной волны в виде:
; (43)
. (44)
Здесь, в отличие от изотропной среды, электромагнитная волна с волновым вектором вдоль оси , кроме поперечных компонент электрического и магнитного полей и , имеет также продольную компоненту магнитного поля . Причиной появления продольной магнитной составляющей электромагнитной волны является магнитная гиротропия.
10. Полярная система координат
Вводя угол между волновым вектором и осью (рис.4) получаем:
; (45)
, (46)
а также, учитывая, что:
, (47)
из (39) получаем дисперсионное соотношение в следующем виде:
, (48)
откуда находим волновое число:
. (49)
Из (43) и (44) - получаем компоненты вектора магнитного поля волны:
; (50)
; (51)
11. Импедансы и адмиттансы
Для удобства записи выражений (50)-(51), введем ИМПЕДАНСЫ:
ЛИНЕЙНОМАГНИТНЫЙ:
; (52)
ГИРОМАГНИТНЫЙ:
. (53)
При этом поля волны (50)-(51) принимают вид:
; (54)
. (55)
Наряду с импедансами, поля гиромагнитной волны можно выразить через обратные им величины - АДМИТТАНСЫ, что при расчете полей электромагнитной волны в многослойной структуре [2] составляет определенное удобство:
ЛИНЕЙНОМАГНИТНЫЙ:
; (56)
ГИРОМАГНИТНЫЙ:
. (57)
При этом поля (50) и (51) принимают вид:
; (58)
. (59)
Для волны, волновой вектор которой направлен вдоль оси , то есть при поля приобретают особенно простой вид:
; (60)
. (61)
В выражениях (58) и (60) коэффициент «» при -компонентах магнитных полей означает изменение фазы на в соответствии с выражением, следующим из формулы Эйлера:
, (62)
то есть:
; (63)
. (64)
В случае изотропной среды, то есть при , ее свойства определяются линейномагнитными импедансом и адмиттансом, которые принимают классический вид [23-29]:
; (65)
. (66)
При этом гиромагнитные импеданс и адмиттанс соответственно равны:
; (67)
. (68)
12. Падение гиромагнитной волны на границу раздела двух сред
Рассмотрим в качестве предварительной задачи отражение и прохождение гиромагнитной волны через плоскую границу раздела двух сред при нормальном падении. Частные случаи подобной задачи для среды, содержащей ферритовые элементы в условиях ориентационного перехода, рассмотрены работах [13,14], здесь же проведем рассмотрение в более общем виде.
Геометрия задачи, аналогичная принятой в [13,14], иллюстрируется рис.5. Показаны заполненные волноведущими средами две области пространства 1 и 2, разделенные плоской границей между ними. Ось гиротропии, определяемая заданием постоянного магнитного поля, лежит в плоскости границы.
Волна падает из области 1 на границу раздела между областями 1 и 2, частично проходит в область 2 и частично отражается обратно в область 1. Волновые векторы падающей , проходящей и отраженной волн перпендикулярны границе раздела сред. Электрические поля всех волн параллельны плоскости раздела, магнитные имеют две составляющие - параллельную и перпендикулярную плоскости раздела. Ось координат перпендикулярна границе раздела, плоскость совпадает с плоскостью раздела сред, ось параллельна вектору электрического поля падающей волны .
Рис.5. Геометрия падения волны на плоскую границу раздела двух сред.
Полные координатно-временные зависимости полей имеют вид:
для падающей волны: ; (69)
для отраженной волны: ; (70)
для проходящей волны: . (71)
Обозначая амплитуды электрических полей падающей, отраженной и проходящей волн через , и соответственно, получаем координатные составляющие полей падающей, отраженной и проходящей волн, выраженные через , , (записываем через адмиттансы только отличные от нуля компоненты):
для падающей волны:
- задано; (72)
; (73)
; (74)
для отраженной волны:
; (75)
; (76)
; (77)
для проходящей волны:
; (78)
; (79)
. (80)
Координатные составляющие полей по обе стороны от границы раздела сред равны:
в среде 1:
; (81)
; (82)
; (83)
в среде 2:
; (84)
; (85)
. (86)
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ - непрерывность касательных составляющих полей на границе раздела, имеют вид:
, (87)
. (88)
Подставляя (81)-(86) в (87), (88) и решая полученную систему относительно амплитуд отраженной и проходящей волн, а также учитывая (69)-(71), получаем поля всех волн в виде:
поля падающей волны:
- задано; (89)
; (90)
; (91)
поля отраженной волны:
; (92)
; (93)
; (94)
поля проходящей волны:
; (95)
; (96)
. (97)
При этом для каждой из волн определяющим является электрическое поле вдоль оси , а обе компоненты магнитного поля - поперечная вдоль оси и продольная вдоль оси , получаются в соответствии с выражениями (90)-(91), (93)-(94), (96)-(97), причем для отраженной волны надо учитывать изменение знака обеих этих составляющих за счет изменения направления распространения, как это видно из рис.5.
Из выражений (89), (93) и (95) видно, что они с точностью до замены импедансов на адмиттансы совпадают с аналогичными выражениями полей для электромагнитной волны в изотропной среде [3-6]. Отсюда можно сделать вывод, что электрические поля волн в различных слоях многослойной структуры, содержащей гиротропные магнитные среды, подчиняются тем же законам распространения, что и поля в случае изотропных сред. Это означает, что для определения полей волн в такой структуре можно использовать тот же пошаговый алгоритм, что и для одномерной волны, вариант которого для электромагнитной волны приведен в работе [2].
ЗАМЕЧАНИЕ. Проведенное рассмотрение выполнено для случая, когда направления осей гиротропии во всех слоях структуры совпадают. Случай несовпадения таких направлений может отличаться от приведенного здесь и требует отдельного рассмотрения, выходящего за рамки настоящей работы.
13. Тензор магнитной проницаемости
Применение пошагового алгоритма требует предварительного вычисления адмиттансов (56)-(57), в случае гиротропной магнитной среды выражаемых через компоненты тензора магнитной проницаемости и . Рассмотрим теперь конкретный вид этого тензора.
Высокочастотные магнитные свойства материала описываются на основе модели прецессии вектора намагниченности. Для этого будем пользоваться уравнением движения для намагниченности Ландау-Лифшица с диссипативным членом в форме Гильберта [7-9]:
, (98)
где - нормированный вектор намагниченности, - намагниченность насыщения, - гиромагнитная постоянная, - эффективное поле внутри магнетика, - параметр затухания Гильберта.
Решая это уравнение традиционным методом линеаризации [7-9], получаем компоненты тензора магнитной восприимчивости в виде:
; (99)
, (100)
где:
; (101)
. (102)
Полагая магнитные потери достаточно малыми () и освобождаясь от мнимости в знаменателе, получаем:
; (103)
. (104)
Для дальнейшего упрощения положим мнимые части в числителях обоих этих выражений равными нулю (при этом мы теряем фазу и частично потери, но для первого рассмотрения будем полагать это несущественным):