; (105)
. (106)
Учитывая, что магнитная проницаемость связана с восприимчивостью соотношением:
, (107)
где - единичный тензор, получаем компоненты тензора магнитной проницаемости в виде:
; (108)
. (109)
ЗАМЕЧАНИЕ. Динамическая магнитная восприимчивость вещества, обусловленная прецессией вектора намагниченности, традиционно рассчитывается в системе СГС [7-9]. Однако распространение электромагнитных волн в настоящей работе рассчитывается в системе СИ [23-29]. Правила перехода от одной системы к другой можно найти, например, в учебных монографиях [30,31]. При переходе к системе СИ восприимчивость (105)-(106) приобретает вид:
; (110)
. (111)
При этом проницаемость (107) вычисляется по формуле:
, (112)
в результате чего формулы (108)-(109), используемые для расчета адмиттансов (56)-(57), остаются без изменения.
14. Характерные частоты
Отметим сначала некоторые параметры, важные для дальнейшего рассмотрения. Исходя из частотной зависимости компонент проницаемости, выделим следующие характерные частоты:
- частота, где обе компоненты проницаемости и в отсутствие затухания расходятся, а при наличии затухания проходит через единицу, а - через нуль:
(113)
- частота, где компонента проницаемости в отсутствие затухания проходит через нуль:
(114)
- частота, где параметр расходимости (рассмотрен подробно в разделе №15) в отсутствие затухания проходит через нуль:
(115)
В дальнейшем, кроме особо оговариваемых случаев, будем использовать следующие параметры магнитной среды: поле: ; намагниченность: ; гиромагнитная постоянная: .
При этих параметрах характерные частоты имеют следующие значения: ; ; .
15. Параметр расходимости
Важной характеристикой, в значительной степени определяющей свойства распространения волн, является параметр , условно названный нами «параметром расходимости»:
. (116)
Этот параметр входит в подкоренные выражения для волнового числа (49) и адмиттанса (56)-(57). Так что волновое число и адмиттанс могут быть действительными только при положительности этого параметра. В случае его отрицательности волна не может распространяться.
Предварительное рассмотрение показывает, что в отсутствие затухания на частоте этот параметр имеет особенность типа расходимости, на частотах и меняет знак, то есть проходит через нуль. В интервале между и этот параметр отрицателен, то есть этот интервал для распространения волны запрещен. В результате волновое число положительно везде на частотах ниже , кроме небольшой окрестности около частоты , а также на частотах выше . Адмиттанс положителен только на частотах ниже и выше . Между частотами и он не существует (запрещенный интервал), а между частотами и является действительным, но имеет отрицательный знак.
Таким образом, когда параметр расходимости отрицателен, волновое число и адмиттанс не существуют.
При принятых параметрах задачи можно указать приближенные границы запрещенных и разрешенных участков. Так предварительное рассмотрение показало, что при крайне слабом затухании () в пределах исследованного интервала от до запрещенные участки имеют частоты: ; . При этом разрешенные участки соответствуют частотам: ; ; . При крайне сильном затухании весь интервал частот разрешен.
После такого краткого введения обратимся к рассмотрению роли затухания в распространении волны более подробно.
16. Три интервала параметра затухания
По свойствам распространения волн можно выделить три характерных вида его поведения, различающихся значениями параметра затухания . Интервалы значений , определяющие эти свойства, можно условно охарактеризовать затуханием «слабым», «средним» и «сильным». Численное исследование позволило выявить два характерных значения параметра затухания, разделяющего эти три области. Так при и характерные значения равны: и . Слабое затухание соответствует интервалу , среднее - интервалу , сильное - интервалу . Приведенные численные значения определяются особыми точками характерных значений компонент тензора магнитной проницаемости и , вследствие чего являются резкими (в настоящей работе определялись с точностью до четырех значащих цифр).
Рассмотрим важные для дальнейшего характерные частотные свойства компонент тензора проницаемости и , параметра расходимости , волнового числа и адмиттанса в упомянутых трех интервалах параметра затухания.
17. Затухание слабое
Слабое затухание соответствует интервалу . Обратимся к рис.6, где показаны частотные зависимости характерных параметров распространения волн при параметре затухания равном .
Из рис.6а видно, что обе компоненты проницаемости проходят через нуль вблизи частоты . Более подробное исследование показывает, что точно на частоте компонента проницаемости проходит через единицу, а компонента - через нуль. По обе стороны от этой частоты при стремлении затухания к нулю обе компоненты расходятся на плюс-минус бесконечность. Компонента проходит через нуль вблизи частоты (здесь - несколько ниже, но при проходит точно). Между и величина отрицательна. При увеличении частоты стремится к единице, а к нулю, то есть разность квадратов этих компонент, находящаяся в числителе выражения для параметра расходимости (116), всегда положительна.
На рис.6б приведена частотная зависимость для параметра расходимости . Его знак здесь определяется соотношением знаков компонент проницаемости и . Видно, что этот параметр в областях ниже частоты и выше положителен, а между и - отрицателен. Это означает, что волновое число и адмиттанс между и определены быть не могут. Небольшая особенность параметра при частоте отражает прохождение и через нуль, сопровождаемое по обе стороны от этой частоты расходимостью противоположных знаков. При подобную же расходимость испытывает и .
Рис.6. Частотные зависимости характерных параметров распространения волны при слабом затухании: .
а - компоненты тензора проницаемости - сплошная линия, - пунктир; б - параметр расходимости ; в - волновое число ; г - адмиттанс .
Горизонтальные точечные линии соответствуют нулю и единице, вертикальные - значениям характерных частот , , .
На рис.6в приведена частотная зависимость для волнового числа . Поскольку, согласно (49), волновое число пропорционально квадратному корню из , то его частотная зависимость также подобна зависимости для . Между частотами и волновое число не определено, а на частоте - равно нулю в силу равенства нулю на этой частое параметра . Небольшая особенность на частоте идентична подобной особенности .
На рис.6г приведена частотная зависимость для адмиттанса . В соответствии с (56) знак его определяется произведением корня из на . Поэтому в области между и , где отрицательна (рис.6а), знак адмиттанса тоже отрицательный. Между частотами и адмиттанс не определен в силу отрицательности , а ниже и выше - положителен. В положительной окрестности частоты адмиттанс расходится, что обусловлено прохождением через нуль параметра .
Таким образом, можно сделать вывод, что при слабом затухании волна в магнитной среде может распространяться ниже частоты и выше частоты обычным порядком, то есть при положительном адмиттансе, между частотами и - при отрицательном адмиттансе, а интервал частот между и для распространения волны является полностью запрещенным.
18. Затухание среднее
Среднее затухание соответствует интервалу . Обратимся к рис.7, где показаны частотные зависимости характерных параметров распространения волн при параметре затухания равном .
Из рис.7а видно, что на частоте , как и при слабом затухании, компонента проницаемости проходит через единицу, а компонента - через нуль. По обе стороны от этой частоты они проходят через небольшие экстремумы - ниже через максимум, выше - через минимум. Обе зависимости подобны друг другу с учетом сдвига вверх по отношению к на единицу. Во всем интервале частот положительна, тогда как ниже положительна, а выше - отрицательна.
Рис.7. Частотные зависимости характерных параметров распространения волны при среднем затухании: .
Все обозначения и остальные параметры - те же, что на рис.6.
В интервале частот, начинающемся несколько выше и заканчивающимся несколько ниже , абсолютная величина превышает абсолютную величину . В этом интервале разность квадратов , присутствующая в числителе выражения для , отрицательна. Вне этого интервала по частоте в обе стороны абсолютная величина всегда превышает абсолютную величину , то есть разность всегда положительна.
На рис.7б приведена частотная зависимость для параметра расходимости . Его знак здесь определяется соотношением знаков компонент проницаемости и . Видно, что этот параметр ниже частоты , на которой и проходят через нуль, положителен. Несколько выше частоты он остается положительным, после чего меняет знак, оставаясь отрицательным почти до частоты , немного не доходя до которой снова меняет знак, возвращаясь к положительному значению. Выше этого второго изменения знака параметр всегда остается положительным. Таким образом, между и , несколько отступая от этих частот, имеется широкая область отрицательных значений параметра расходимости . В этой области подкоренные выражения, входящие в волновое число (49) и адмиттанс (56), отрицательны, то есть для распространения волн эта область является запрещенной.
На рис.7в приведена частотная зависимость для волнового числа . Поскольку, согласно (49), волновое число включает в себя квадратный корень из , то в тех местах, где параметр отрицателен, волновое число не определено. На краях своей области определения волновое число стремится к нулю, что обусловлено прохождением параметра через нуль.
На рис.7г приведена частотная зависимость для адмиттанса . Здесь также между и , несколько отступя от этих частот, имеется широкая запрещенная область, определяемая интервалом отрицательности параметра . На краях этой области адмиттанс стремится к бесконечности, что также обусловлено прохождением параметра через нуль.
Таким образом, можно сделать вывод, что при среднем затухании волна в магнитной среде может распространяться ниже частоты и выше частоты обычным порядком, то есть при положительном адмиттансе. Однако между частотами и имеется широкая запрещенная область, края которой близко примыкают к этим частотам, а волна может распространяться только в близких окрестностях частот и снизу и сверху соответственно.
19. Затухание сильное
Сильное затухание соответствует интервалу . Обратимся к рис.8, где показаны частотные зависимости характерных параметров распространения волн при параметре затухания равном .
Из рис.8а видно, что, подобно случаям малого и среднего затухания, на частоте компонента проницаемости проходит через единицу, а компонента - через нуль. По обе стороны от этой частоты обе компоненты проходят через небольшие экстремумы, которые здесь однако выражены слабее, чем в случае среднего затухания. Обе зависимости также подобны друг другу с учетом сдвига вверх по отношению к на единицу. Как и ранее, во всем интервале частот положительна, тогда как ниже положительна, а выше - отрицательна. Однако теперь на любых частотах всегда абсолютная величина превышает абсолютную величину , в результате чего разность квадратов , присутствующая в числителе выражения для (116), всегда положительна. При этом, с учетом того, что в рассматриваемом случае проницаемость всегда положительна, параметр , в соответствии с (116), также всегда является положительным, как это видно из рис.8б.
Это означает, что для волнового числа и адмиттанса запрещенных областей нет, то есть волна может существовать во всем интервале частот от минус до плюс бесконечности.
Рис.8. Частотные зависимости характерных параметров распространения волны при сильном затухании: .
Все обозначения и остальные параметры - те же, что на рис.6.
Поведение волнового числа и адмиттанса в этом случае иллюстрируется рис.8в и рис.8г соответственно. Видно, что оба эти параметра между частотами и хотя и испытывают изменение знака производной, приводящее к наличию экстремумов, но существуют во всех точках шкалы частот, не имея ни нулей, ни каких-либо особенностей и тем более расходимостей.
Таким образом, можно сделать вывод, что при сильном затухании волна в магнитной среде может распространяться при любых частотах.
ЗАМЕЧАНИЕ. В ходе проведенного рассмотрения на основе отрицательности параметра расходимости (116) сделан вывод о невозможности распространения волны в таких условиях. Однако, как можно видеть из аналитических выражений для волнового числа (49) и адмиттанса (56), при отрицательной величине алгебраическое вычисление корня приводит к комплексным выражениям. Вообще говоря, комплексное волновое число означает не просто отсутствие волны, а ее постепенное затухание по пути распространения. Можно полагать, что то же относится к адмиттансу. То есть волна на входе в участок среды с отрицательным значением продолжает распространяться с амплитудой, падающей по экспоненциальному закону. То есть происходит что-то подобное входу волны в запредельный волновод [23-29]. При этом волна на выходе из такого участка будет иметь амплитуду значительно меньшую входной. Прямые свойства прецессии намагниченности, по-видимому, задействованы не будут, то есть волна будет распространяться как в диэлектрике без намагниченности. Такое поведение волны требует отдельного рассмотрения и в настоящий момент выходит за рамки нашей работы.