Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А
претерпевающих |
распад, равно |
N N0 1 e . Отсюда |
||||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N |
1 e |
|
N |
1 1 |
|
N |
|
|
N |
|
|
|
N0 |
|
|
N0 |
|
N0 |
N0 |
|||||
Tln2 N0 ln2 .
N
По условиям 1 с, N 1,24 104 |
|
1 |
, тогда |
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
T |
1 4,2 1020 |
0,7 |
c 2,4 1016 c |
|
2,4 106 |
|
лет 4,5 109 лет. |
|||
1,24 104 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
365 24 3600 |
|
|||||||
5.251. |
В |
атмосфере постоянно |
|
протекает |
реакция |
|||||
147 N n, p 146 C |
под |
действием нейтронов, образуемых космичес- |
||||||||
кими лучами. Возникающий при |
этом углерод 146 C называют |
|||||||||
радиоуглеродом. |
Он - радиоактивен. |
Количество |
возника- |
|||||||
ющих в атмосфере в единицу времени |
ядер радиоуглерода в |
|||||||||
среднем остается постоянным. Вследствие действия ветров и океанических течений равновесная концентрация 14 C в различных местах земного шара одинакова.
Радиоуглерод усваивается при фотосинтезе растениями и участвует в круговороте веществ в природе. Пока организм живет,
убыль в нем 14 C из-за радиоактивности восполняется за счет участия в круговороте веществ в природе. В момент гибели организма процесс усвоения сразу же прекращается и концентрация 14 C в обычном углероде начинает убывать по закону радиоактивного распада. Следовательно, измерив
161
концентрацию 14 C в останках организма, можно определить дату их гибели (их возраст).
В рассматриваемой задаче производится сравнение удельных радиоактивностей для свежих образцов древесины и образцов их останков из далекого прошлого.
По условию отношение активностей указанных образцов равно
A t |
|
N0 |
. |
Отсюда следует, |
что t ln , |
т.е. |
|
A 0 |
|
N0e t |
|||||
t ln T ln . Для известных Т=5570 лет и =0,60 возраст
ln2
древних деревянных предметов t =4,1 103 лет.
5.252. Будем полагать, что в некоторую прошлую эпоху образовавшаяся руда, содержащая изотоп 238U не имела свинца. Появление свинца в руде в более поздние эпохи будем рассматривать как результат процесса распада ядер 238U . Свинец является конечным продуктом цепочки превращений ядер уранового ряда. Тот исторический момент, когда руда не содержала свинец, примем за начало отсчета времени, t=0.
Период распада 238U Т=5570 лет распространим на всю цепочку превращений от 238U до 206 Pb.
Пусть в момент времени t=0 количество ядер 238U в образце
руды равно N0 . По прошествии времени t |
|
количество ядер 238U |
||||||||||||
станет |
равным |
N N0e t |
, |
|
|
|
а |
ядер |
|
свинца |
||||
N N0 |
N N0 1 e t . |
По условию |
|
N |
2,8. |
Из этого |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||
условия получаем: |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
= ln |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
162 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln 1+ = ln 1+ .
Для известных значений Т и возраст руды t 2,0 109 лет.
5.253. Удельную радиоактивность препарата определим
dN |
|
1 |
|
N |
A |
|
N |
A |
ln2 |
где NA - постоянная |
|||
выражением |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
, |
|||
dt |
|
A |
|
|
|
|
|||||||
|
уд |
|
m |
|
|
|
TA |
|
|||||
Авогадро, А – атомная масса.
Для |
24 |
Na |
dN |
|
6,02 1023 0,7 расп |
|
|
17 |
|
Бк |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,4 10 |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
15 3600 23 |
|
|
ч с |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
уд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|||||||||
Для 238U удельная активность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dN |
|
|
6,02 1023 |
0,7 |
|
|
расп |
0,8 10 |
5 |
|
Бк |
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
7,1 108 |
365,25 |
24 3600 |
ч с |
|
|
|
г |
|
|||||||||||||||
dt |
|
уд |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.254. Пусть в порции раствора, предназначенного для введения в кровь человека, содержится N0 атомов
радиоактивного изотопа 24 Na . После введения раствора в кровь объемом V через несколько минут препарат равномерно распределяется по всему объему и концентрация атомов 24 Na
станет равна |
N0 |
. При |
этом |
начальная удельная объемная |
||||||||
|
||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
активность радионуклида |
a |
|
|
N |
0 |
|
(1). По условию aV A |
(2). |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
V |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С учетом (2) из (1) имеем |
N0 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
163
По истечении времени t удельная радиоактивность препарата
уменьшается и станет равна |
N |
0 |
|
|
A |
(3). |
||
A |
|
e t |
|
|
e t |
|||
|
|
|
||||||
|
V |
|
|
|
V |
|
||
По заданным значениям A |
|
|
|
|
из (3) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
t |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
tln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
A V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для заданных значений величин A, |
|
|
|
|
|
|
и T объем крови |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A , t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,0 103 |
|
|
|
|
|
|
5 0,7 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
человека составляет V |
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
cм |
|
6 10 |
|
|
см |
|
6 |
л. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,267 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
5.255. Пусть масса радиоактивного изотопа 58 Co в смеси |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(сплаве) с |
|
неактивным 59 Co |
|
|
|
равна |
|
m , а |
|
масса |
|
смеси |
m . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, M1 – |
|||||
Удельная активность смеси Aуд |
|
|
A |
, |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
атомная масса |
|
|
|
. Отсюда имеем |
|
|
уд = |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
A |
уд |
M |
1 |
|
T A |
уд |
M |
1 |
|
|
|
71,3 |
|
24 |
|
3600 |
2,2 |
|
10 |
|
|
|
58 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,87 10 |
0,19%. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
NA |
|
|
NA ln2 |
|
|
|
|
|
6,02 1023 0,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5.256. Одновременно протекают два процесса – образование ядер радиоизотопа 32 P с постоянной скоростью q
распад с |
постоянной |
распада |
ln2 |
. |
Пусть к некоторому |
|
|||||
|
|
|
T |
|
|
моменту t |
в реакторе |
накопилось |
N |
ядер изотопа 32 P . За |
|
промежуток времени от |
t до t dt приращение ядер 32 P равно |
||||
dN qdt Ndt, или dN q N dt |
(1). Разделяя равенство (1) |
||||
по переменным, получим уравнение: |
|
|
|
||
|
|
164 |
|
|
|
dN |
dt. |
(2). |
|
||
q N |
|
|
Общее решение уравнения (2) имеет вид N 1 q ce t (3).
Из начального условия N t 0 0следует, что постоянная
c qи N |
q |
1 ce t |
(4). При этом радиоактивность в момент |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t равна A N q1 e t |
(5). Из (5) получаем время |
t , по |
|||||||||||||
истечении |
которого |
после |
запуска |
реактора |
радиоактивность |
||||||||||
|
станет равной A |
|
1 |
|
|
q |
|
T |
|
A |
|
||||
продукта |
: t |
ln |
|
ln 1 |
. Для |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
q A |
ln2 |
|
q |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
заданных значений T, |
A и q промежуток времени t=9,5 сут. |
||||||||||||||
5.257. Рассмотрим распад ядер некоторого вещества A1 , в
котором возникают новые радиоактивные ядра A2 .Обозначим числа этих ядер для произвольного момента времени соответственно через N1 и N2 , а их постоянные распада – через
|
1 |
и 2 . |
Тогда для изменений N1 |
и N2 за промежуток времени |
|||||||||||||||||||
от |
|
t |
|
|
|
до |
|
|
t dt |
можно |
написать |
dN1 1N1dt |
и |
||||||||||
|
dN |
2 |
N |
dt |
2 |
N |
2 |
dt , или в виде |
уравнений |
dN1 |
N |
1 |
(1), |
||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dN2 |
N |
1 |
|
N |
2 |
|
|
(2). Первое из этих уравнений имеет решение |
||||||||||||||
|
dt |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N |
1 |
N |
10 |
e 1t |
(3), где N |
10 |
- число ядер A в момент t=0. Число N |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
убывает за счет радиоактивного распада ядер A1 . При этом из каждого материнского ядра возникает дочернее ядро.
Правая часть второго уравнения состоит из двух слагаемых.
Первое слагаемое учитывает, что дочернее ядро A2 возникает из
165