Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А
кг/м3 ==2 1011 кг/см3 ; число нуклонов в единице объема равно
/mp |
2 1011 /1,67 10 27 1 1038 (нукл./см3 ). |
||
5.238. На основании формулы R 1,3 3 |
|
фм и данного |
|
A |
|||
условия |
RAl /Rx 1,5 находим: массовое число искомого ядра |
||
Аx AAl |
/1,53 27/3,38 8. Поскольку Z=N, ядро имеет четыре |
||
протона и четыре нейтрона, т.е. это ядро бериллия. Энергия связи ядра 8 Be равна
Есв с2 zmp A z mn MЯ 4 938,28 4 939,57 8 0,00531 931,4 55,2МэВ.
5.239. а) Средняя энергия связи на один нуклон в ядре 168 О
(Z=8; А=16):
Есв / А 8 938,28 16 8 939,57 16 0,00509 931,4 /16 8,0 МэВ/нукл.
б) Энергия связи нейтрона в ядре 115 В:
Есв с2 М 10 В mn c2M 11B
10 0,01294 931,4 939,57 11 0,00930 931,4 11,5МэВ.
в) Энергия связи -частицы в ядре 115 В:
Е с2 М 7Li M 4He c2M 11B
7 0,01601 4 0,00260 931,4 11 0,00930 931,4 8,7МэВ.
г) Энергия, необходимая для разделения ядра 16 О на четыре одинаковые части:
Е с 2 4М 4 He c 2 M 16 O |
|
4 4 0,00260 931,4 16 0,00509 931,4 |
14,5МэВ |
5.240. Энергия связи в ядре 11 В:
а) нейтрона:
156
En c2 M 10 B mn c2M 11 B
10 0,01294 931,4 939,57 11 0,00930 931,4 11,4МэВ;
б) протона:
Е р с 2 М 10 Be m p c2 M 11 B |
|
|
10 0,01354 931 ,4 938 ,26 11 0,00930 |
931 ,4 10,8МэВ . |
|
Разность энергий связи n и р в ядре 11 В En Ep |
0,6МэВ. |
|
Получили, Еp En . Это и следовало ожидать, поскольку между
протоном и остальной частью ядра действует кулоновская сила отталкивания и, благодаря этому, энергия, затрачиваемая на отрыв протона от ядра. будет меньше по сравнению с энергией отрыва нейтрона.
5.241. Введем обозначения удельных энергий связи нуклонов в ядрах 20 Ne, 4 Не, 12 С : Ne, He, C . Энергия,
необходимая для разделения ядра 20 Ne на две -частицы и ядро
12С, равна
Е20 Ne 2 4 He 12 C 20 8,03 8 7,07 12 7,68 11,9МэВ.
|
5.242. а) Масса атома нуклида 38 Li равна |
= |
− |
|||||||
− |
− |
св |
= 3∙1,00783+5∙1,00898− |
|
, |
= 8,023 аем. |
||||
|
|
|
12 |
: |
|
, |
|
|
|
|
б) Масса ядра |
6 С |
|
|
|
|
|
||||
mя |
Zmp Nmn |
Ecв |
6 1,00759 5 1,00898 11 6,04/931,4 11,08 аем. |
|||||||
|
5.243. Будем считать, что процесс распада ядер некоторого |
|||||||||
нуклида |
протекает |
по закону N N0e t , |
где |
N0 - |
начальное |
|||||
количество исходных ядер, N - их количество к моменту времени t,- постоянная распада. Число образовавшихся за время t дочерних
ядер равно N N0 N N0 1 e t . |
Величину N можно |
157 |
|
рассматривать как число событий, благоприят-ствующих образованию дочерних ядер за время t из полного числа N0
независимых событий. Следовательно, вероятность распада исходногоядразавремяотt=0до tравна P N / N 0 1 e t .
Теперь найдем среднее время жизни материнского ядра. Выше мы нашли вероятность распада исходного ядра за время t. Отсюда следует, что вероятность “выживания” ядра равна
Р 1 Р е t . При этом плотность вероятности существования
материнского ядра равна dP/dt |
d |
e t |
e t (знак минус |
|
|||
|
dt |
|
|
опущен, поскольку вероятность и плотность вероятности величины положительные).
Среднее время жизни радиоактивного ядра равно
= |
( ) = |
= − |
( ) = |
|||
= |
+ |
= 0 − |
1 |
= |
1 |
. |
Итак, 1 .
5.244. Доля распавшихся ядер к моменту времени t равна
N0 N t / N0 1 e t 1 e |
ln2 |
t |
|
0,7t |
|
|
T 1 e T , |
||||||
|
||||||
где Т – полупериод распада. Для Т=71,3 сут. и t=1 мес. величина
|
|
30 |
|
1 |
|
|
|
||
равна 1 exp 0,7 |
|
|
1 |
|
|
0,26 (26%). |
|||
|
e0,3 |
||||||||
|
|
|
71,3 |
|
|
|
|||
5.245. В начальный момент времени t=0 радиоактивный |
|||||||||
натрий |
24 Na |
содержал |
ядер |
в |
количестве |
||||
158
|
|
m |
|
|
|
|
1,0 10 6 |
|
|
|
|
23 |
|
16 |
. К моменту времени t |
||||
N |
0 |
|
|
N |
A |
|
|
|
|
|
6,02 10 |
|
2,5 10 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
количество распавшихся ядер равно |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln 2 t |
|
|
|
|
0,71,0 |
|
|
N0 1 e |
0,047 |
N0 1 1 0,047 |
|||
N |
|
N |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 1 e |
|
|
|
N0 1 e |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,047N0 |
0,047 2,5 1016 |
1,2 1015. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Число -частиц, испущенных радиоактивным препаратом, также равно 1,2 1015.
|
|
|
|
5.246. В момент времени t1 , счетчик зарегистрировал |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N N (1 e t1 ) |
-частиц, а в момент времени t |
2 |
-N |
2 |
N |
1 e t2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e |
3 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
По условиям |
t2 =3 t1 |
и |
|
2,66. Тогда |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
N1 |
|
1 e |
t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда найдем постоянную распада , а затем среднее время |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
жизни |
1 |
|
для ядер 23 Mg : 1 x3 |
1 x , где x e t1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
2 |
x |
|
|
|
x |
2 |
x |
0 |
|
x |
|
1 |
1 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Принимается корень x |
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
поскольку x>0. Для =2,66 |
x=0,88. Итак, имеем: е t1 |
0,88 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln0,88 |
|
ln 1 0,12 |
|
0,12 |
. Среднее время жизни |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
радиоактивного ядра 23 Mg |
|
|
t1 |
|
|
2,0 |
|
c 17c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.247. Активность радиоизотопа
159
|
|
A |
d |
N |
0 |
N |
dN |
N |
0 |
e t N t . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По условиям N t 0 N0 , |
N t t1 N0e t1 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
A t 0 / A t t1 2,5 |
|
за время t1 |
7,0 сут. Получаем: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
e t1 t1 |
ln |
|
ln2 |
t1 ln |
T |
t1 ln2 |
|
7,0 0,7 |
5,3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
ln2,5 |
|
|
||||||||
сут. Период полураспада T 5,3 сут. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.248. |
|
|
|
Начальная |
активность |
|
|
|
радиоизотопа |
|||||||||||||||||||||
A0 A t 0 N0 , |
в момент |
времени |
|
t |
T |
|
|
активность |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
A t N N |
|
e t |
A e t |
|
A e |
tln2 |
|
|
A e |
ln2 |
|
A |
|
0,7A |
|
|||||||||||||||
0 |
|
T |
| |
T |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
e0,35 |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 1,20 106 Бк |
0,85 106 Бк. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.249. По условию активность радиоактивного изотопа
55 С0 за время t=60 мин от начала отсчета уменьшается на 4% .
Это дает возможность написать: A t 0 A t 0,04A t 0 , т.е.
N0 N0e t |
0,04 N0 , |
или 1 e t |
0,04 |
|
e t |
0,96 |
|
||||||||||
|
ln0,96 |
ln0,96 |
1 |
0,04 |
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,7 10 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
t |
60 |
мин |
60 |
|
|
|
мин |
|
|
|
||||||
Среднеевремяжизниисходныхядер
1 104 мин 1500мин 25час. 1сут.
6,7
|
|
5.250. |
|
Исходное |
количество |
ядер |
238U |
было |
||||||
N |
0 |
|
m |
N |
A |
|
1 |
6,02 1023 |
4,2 20. За |
время количество |
ядер, |
|||
|
238 |
|||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160 |
|
|
|
|