Познание предполагает раздвоенность мира на объект и субъект. Мир существует для нас лишь в аспекте его данности познающему субъекту. Субъект – существо, обладающее сознанием и волей, способностью к целесообразной деятельности, направленной на тот или иной предмет; человек, познающий и изменяющий окружающий мир. Предмет, на который направлена практическая или теоретическая деятельность человека, представляет собой объект. В качестве объекта выступают прежде всего предметы и явления реального мира; их отражение в сознании может быть также объектом изучения.
С точки зрения познавательной деятельности субъект не существует без объекта, а объект без субъекта. В современной гносеологии принято различать объект и предмет познания. Под объектом познания имеют ввиду реальные фрагменты бытия, подвергающиеся исследованию. Предмет познания- это конкретные аспекты, на которые направлено острие ищущей мысли. Так человек является объектом изучения многих наук- биологии, медицины, психологии, философии и др. Однако каждая из них “видит” человека под своим углом зрения: например, психология исследует психику, душевный мир человека, медицина- его недуги и способы их лечения и т.д. Следовательно в предмет исследования как бы входит актуальная установка исследователя, т.е. он формируется как бы под углом зрения исследовательской задачи.
Материализм исходит из того, что материальный объект познания и практической деятельности существует до, вне и независимо от деятельности субъекта. Идеализм, напротив, изображает объект познания только как продукт деятельности субъекта, как продукт сознания и воли человека (субъективный идеализм) или надмирового существа, «абсолютного субъекта» (объективный идеализм). Домарксистский материализм рассматривал отношение субъекта и объекта в познании как отношение, в котором субъект пассивно воспринимает воздействия от объекта. Идеализм, как правило, односторонне подчеркивал и абсолютизировал активную роль сознания. Вопрос о диалектике взаимоотношений субъекта и объекта в познании был поставлен идеалистами и получил свое наиболее полное выражение у Г. Гегеля, но научно решил этот вопрос только диалектический материализм. Основоположники марксизма показали, что познание осуществляется в процессе общественной практической деятельности человека, направленной на изменение окружающего мира. Все познавательные способности субъекта были поняты как продукт общественно-исторического развития практики и познания. На этой основе был впервые научно разрешен вопрос об активной роли сознания человека. Удовлетворяя посредством деятельности свои общественные потребности, человек активно изменяет предметы природы. При этом он изменяет, создаёт предмет, объект в соответствии с поставленной им целью. В конце процесса труда получается то, что ранее было лишь в сознании субъекта в виде цели его деятельности. В процессе познания человек приводит свое сознание в соответствие с объектом. Изменение объекта, совершающееся в процессе труда, выступает одновременно в качестве критерия истинности тех представлений и понятий, на основе которых субъект воздействует на объект. Совпадение результатов с заранее поставленной целью, т.е. успех, доказывает правильность представлений и понятий. Неуспех обнаруживает несовпадение представлений и понятий с их объективным прообразом. С другой стороны, правильность, истинность представлений и понятий об объекте оказывается необходимым условием успеха практической деятельности человека. И в практике и в познании субъект является активной, деятельной стороной отношения с объектом.
Практика- это чувственно предметная деятельность людей, их воздействие на тот или иной предмет с целью его преобразования для удовлетворения исторически сложившихся потребностей. Практика не только выявляет и указывает те явления, изучение которых необходимо для общества, но и изменяет окружающие предметы, выявляет такие их стороны, которые до этого не были известны человеку и поэтому не могли быть предметом изучения. Вся история научного познания говорит о том, что вслед за практическим применением какого-либо открытия начинается бурное развитие соответствующей области научного познания: развитие техники революционирует науку.
Таким образом, концепция математического априоризма Канта представляет собой промежуточный вариант — между сверх-априоризмом античности и эмпиризмом Нового времени — понимания природы и статуса математического знания.
Древнеегипетскую и вавилонскую культуру в области математики продолжали греки. Они не только усвоили весь опыт их геометрии, но и пошли гораздо дальше. Ученые древней Греции сумели привести в систему накопленные геометрические знания и, таким образом, заложить начала геометрии как дедуктивной науки. Греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая торговые пути.
К сожалению, не сохранилось первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Только благодаря восстановленным текстам четвертого столетия до нашей эры и трудам арабских ученых, которые были богаты переводами сочинений авторов античной Греции, мы располагаем изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великий людей. Но в этих произведениях уже представлена вполне развитая математическая наука.
Необыкновенный расцвет науки и культуры был тесно связан с общим подъемом греческого производства 6 - 4 в.в. до н.э., жизненными потребностями людей. Проблемы механики, астрономии, строительства, архитектуры, мореплавания требовали совершенствования математических методов, начиная от вычислительной геометрии и до учения об отношениях, способах определения площадей, объемов, центров тяжести.
Большое значение для развития наук имела общественно - политическая жизнь городов – полисов. В это время возникли первые философские школы, которые логически объясняли свое миропонимание, исходя из небольшого числа положений, принимаемых без доказательства. Такой логический подход был введен также в геометрию и скоро стал в ней основным методом установления истинности предложений. Как и естествознание, математика, начиная с самого своего формирования как науки, явилась ареной борьбы материализма и идеализма. Выступая против религиозных мифологических фантазий, древнегреческие философы, разделявшие стихийно-материалистические взгляды, искали в самой природе начало бытия, и математика служила средством, содействовавшим им в этих поисках. Между тем философы-идеалисты видели в числах начало всех вещей, а в математике - основу всей науки. Таким образом, пока она не обособилась от философии, борьба двух мировоззрений происходила непосредственно внутри нее самой.
Первой среди научных и философских школ древней Греции была ионийская (VI в. до н.э.). Ее ученые впервые стали заниматься геометрией, однако строгой геометрической системы не создали. У них имелось лишь собрание правил, найденных эмпирическим путем, которыми они пользовались при конкретных построениях.
Представителем новой формы рационального мышления в математике, основателем ионийской школы считается Фалес Милетский (640 - 548 г.г. до н.э.). Во время путешествий он посетил Египет, где и познакомился с астрономией и геометрией. Легенда рассказывает о том, что Фалес привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени (рис. 6). Задача. Измерить высоту пирамиды по отбрасываемой ею тени. (Размеры даны в локтях; 1 локоть = 7 ладоням = 466 мм.) В геометрии ему приписывают ряд утверждений. Вот первое из них: "Диаметр делит окружность (круг) пополам". Доказательством служил рисунок - круг, разделенный на равные секторы. Он обосновал также и другие: "Углы при основании равнобедренного треугольника равны", второй признак равенства треугольников. Фалес мыслил углы не как величины, а как фигуры, имеющие некоторую форму. В этой школе был введен процесс обоснования как необходимый компонент математической деятельности, что являлось отличительной чертой их математики. Свое существование школа прекратила после падения Милета, завоеванного персами в 494 году до н. э.
Дальнейшее развитие математики происходило в другой древнегреческой школе, основателем которой был легендарный Пифагор (564-473 г.г. до н. э.). По совету Фалеса Пифагор отправился для усовершенствования своих знаний в Египет, где прожил около 22 лет и познакомился с теми математическими сведениями, которые хранились жрецами со времен глубокой древности. Возвратившись в Грецию, он основал в Кротоне (южная Италия) научную школу, больше походившую на политическую партию и религиозное братство. Философия пифагорейцев стремилась обосновать вечный и неизменный мировой порядок, а вместе с ним и власть аристократии. Пифагорейцы видели в числе и математических отношениях объяснения скрытого смысла явлений, законов природы, считали, что с помощью чисел можно выразить все закономерности мира. Пифагор успешно разрабатывал различного рода математические доказательства, что способствовало развитию принципов строгого рационального типа мышления. Пифагорейцы изображали числа в виде точек, группируемых в геометрические фигуры, и называли их фигурными. Так, среди них они выделяли плоские и телесные. Точка, изображавшая единицу была неделимой и имела вокруг себя "поле". Поэтому каждое число можно было задать не только при помощи точек, но и квадратных полей.
Разграничение основных терминов познания можно рассмотреть на примере предания о падении яблока на голову Ньютона, которое натолкнуло на открытие закона всемирного тяготения. Соглашаясь с легендой принимаем факт падения яблока как эмпирический, научный факт. Для того, чтобы вывести законы развития природы нужно множество одинаковых фактов, которые можно единообразно объяснить. Ожидание падения новых яблок- способ или метод исследования, который называется в естествознании наблюдение и остается единственным и главным эмпирическим методом исследования. Если мы хотим потрясти яблоню и посмотреть, как будут вести себя яблоки, то наше действо- испытание объекта исследования, эксперимент. Однако не над всеми телами можно провести эксперимент. Если же мы все-таки считаем его необходимым, то сделать это можно на моделях, а эксперимент будет носить название модельный эксперимент. Если эксперимент происходит в уме с воображаемыми телами, то он - мысленный. Понятия, которыми оперирует ученый, являются творческими произведениями человеческого разума. Формирование понятий относится к уровню исследования, который называется теоретическим. Но прежде необходимо записать результаты эмпирических исследований, с тем, чтобы каждый желающий мог их проверить и убедиться в их правильности. На основании эмпирических исследований могут быть сделаны эмпирические обобщения. В науках, которые называют эмпирическими, или описательными, как скажем, геология, эмпирические обобщения завершают исследование, в экспериментальных, теоретических науках это только начало. Чтобы двинуться дальше нужно придумать гипотезу, объясняющую (в нашем примере) падение тел. Для этого необходимо все предшествующее знание, касающееся данной проблемы. При выдвижении гипотезы принимаются во внимание не только ее соответствие эмпирическим данным, но и некоторые методологические принципы, получившие название критериев простоты, красоты, экономии мышления. После выдвижения гипотезы исследование опять возвращается на эмпирический уровень для проверки. Если гипотеза выдерживает эмпирическую проверку, то она приобретает статус закона или закономерности. Совокупность нескольких законов, относящихся к одной области познания называется теорией.
В V-IV в до н.э. во Греции возникали новые выборные учреждения- народные собрания, суды, что породило потребность в подготовке людей, владеющих искусством политического и судебного красноречия, силой убедительного слова и логической доказательностью своих суждений. В этих новых условиях на смену философам и поэтам стали выдвигаться оплачиваемые профессиональные учителя - грамоты, музыки, словесности, риторики, философии, дипломатии. Софистом сначала именовали человека, которые посвящал себя умственной деятельности. Наиболее яркие представители софистики - Протагор, Горгий, Продик. Просвещая древнегреческое общество в политических и юридических вопросах, они уделяли пристальное внимание проблемам языка и логики. Некоторые из софистов в споре и убеждении пользовались занимательным приемом, который впоследствии был назван софизмом - доказательство заведомо ложного утверждения. Причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Например, древний софизм “Рогатый”: “ То, что ты не потерял, ты имеешь; ты не потерял рога, следовательно, ты их имеешь“.