Материал: Основы проектирования РН Куренков
|
|
|
|
|
N |
si |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
xi |
|
||
w w 1 |
|
s 1 |
|
||||||||
ln |
|
i 1 |
|
|
|
||||||
|
1 2 |
|
|
|
i |
|
|
|
|||
w2 w1 |
N |
si |
|
|
|
|
w1 |
|
|||
|
|
|
1 |
xi x1 |
|
x1 |
|||||
|
|
|
|
si 1 |
w2 |
||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|||
3000 .
8.3.7. Методика и алгоритм решения задач на условную оптимизацию в системе Mathcad
1.Записывают целевую функцию, например: f (x, y) : 2 2 x 2 y x2 y2 .
2.Назначают начальные значения варьируемых переменных. Например, при поиске максимума приведенной функции были приняты следующие значения переменных:
x 4 |
у 5 . |
3. Записывается ключевое слово Given, после него записываются функции ограничений, например:
Given
x 0 |
y 0 |
y 9 x . |
4.Записывается операция оптимизации (Maximize или Minimize)
ввиде
p : Minimize f , x, y ,
где p - вектор-столбец (количество элементов которого равно числу переменных и определяется автоматически).
5. Результаты (значения переменных, соответствующих оптимальному значению целевой функции) можно увидеть после написания обозначения P и нажатия знака «=» (знака «равно»):
0 p 9 .
6. Значение самой целевой функции (ее минимальное значение)
|
|
0 1 |
|
|
можно определить, записав значение функции в виде f |
|
P , P |
|
и |
нажав знак «=». Результат будет представлен в виде |
|
|
|
|
186 |
|
|
|
|
f P , P 61 ,
0 1
где |
P |
и |
P |
- значения переменных, соответствующих оптимальному |
|
0 |
|
1 |
|
значению целевой функции.
Для решения задачи математического программирования использовалась система Mathcad. Статистические данные брались из прототипов. Протокол решения задачи представлен ниже. Условные обозначения понятны из аббревиатуры (mb - масса блока; mt - масса топлива; mka - масса КА или полезной нагрузки и т.п.). Знаки пунктуации (точки вместо запятых, нет знаков препинания и т.п.) соответствуют системе Mathcad.
8.3.8.Пример оптимизации стартовой массы РН
всистеме Mathcad
Пример оптимизации стартовой массы трехступенчатой РН с последовательным соединением ракетных блоков представлен ниже в виде протокола расчёта в системе Mathcad.
Протокол расчета в системе Mathcad
Конструкционные характеристики ракетных блоков:
|
|
s1: 7.69 |
s2 : 12.33 |
s3: 9.43 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Масса полезной нагрузки |
mpn: 8.50 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Потребная характеристическая скорость |
Vx : 11260 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Удельные импульсы |
|
w1: 3000 |
w2 : 4500 |
w3: 4500 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Целевая функция |
|
f x1, x2, x3 : 1 |
s1 |
|
x1 |
s2 |
|
x2 |
s3 |
|
x3 |
||||||||||||||||||
s1 1 |
s2 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 1 |
||||||
|
Начальные значения варьируемых параметров |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x1: 15 |
|
|
x : 10 |
|
|
|
|
x3 : 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Ограничения |
|
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Ограничения по числам Циолковского |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
s1 |
|
x1 |
|
s2 |
|
x2 |
|
s3 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
s1 1 |
|
s2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
s1 |
x1 |
|
s2 |
x2 |
|
s3 |
|
x3 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
s1 1 |
|
s2 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
187 |
|
|
|
s2 |
|
|
s3 |
|
|
1 |
s3 |
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
s3 1 |
|
||||||||||||||
s2 1 |
s3 1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
s2 |
|
s3 |
|
1 |
s3 |
x3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
x2 |
|
|
x3 |
x2 |
|
|
x3 |
|
||||||||||
s2 1 |
s3 1 |
|
s3 1 |
|
||||||||||||||||
Функция ограничений по скорости в конце работы двигателей первой ступени
|
1 |
|
|
s1 |
|
|
x1 |
|
|
s2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
s3 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
s1 1 |
|
|
s2 1 |
|
|
|
|
s3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
w1 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3000 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
x1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
s1 1 |
s2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Основная функция ограничений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
s1 |
|
x1 |
|
|
s2 |
|
|
x2 |
|
|
s3 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 1 |
|
|
|
|
|
s2 1 |
|
|
s3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Vx w1 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x1 |
|
|
x2 |
|
|
x3 x1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
s1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 1 |
|
|
|
|
s3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
s2 |
x2 |
|
|
|
s3 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
s3 |
|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
s2 1 |
s3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
w2 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w3 ln |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
|
x3 x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x3 x3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s3 1 |
|
|
|
|
|
s3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
s2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Функция минимизации |
|
|
Xm : Minimize f , x1, x2, x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.196 |
|
|
|
|
|||||
Вектор оптимальных параметров |
|
|
Xm |
5.684 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.385 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Минимальное значение функции |
|
f Xm0 , Xm1, Xm2 |
31.949 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оптимальные значения масс ракетных блоков |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
mt1: Xm0 mpn |
|
|
|
|
|
|
mt1 171.665 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
mt2 : Xm1 mpn |
|
|
|
|
|
|
mt2 48.315 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
mt3 : Xm2 mpn |
|
|
|
|
|
|
mt3 11.770 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Оптимальные значения масс ракетных блоков |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
mb1: |
|
|
s1 |
|
xt1 |
|
|
|
|
|
mb1 197.325 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
s1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
188 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mb2 : |
s2 |
|
|
xt2 |
mb2 52.579 |
|
|
|
|||||
s2 1 |
||||||
mb3: |
|
s3 |
|
|
xt3 |
mb3 13.166 |
|
s3 |
1 |
||||
|
|
|
|
|||
Оптимальные значения стартовой массы ракеты-носителя:
mo1: mpn mb1 mb 2 mb 3 |
mo1 271.571 |
8.4.Выбор количества ступеней ракеты-носителя
8.4.1.Выбор количества ступеней ракеты по критерию
минимума стартовой массы
Алгоритм этого выбора следующий.
1.Назначается минимальное количество ступеней ракетыносителя (как правило, две ступени).
2.Решается задача на условную оптимизацию по определению минимальной стартовой массы ракеты.
3.Увеличивается количество ступеней на единицу, и расчет по пункту 2 повторяется с новым количеством ступеней.
При этом следует учитывать, что по статистике численные значения конструктивных характеристик ракетных блоков для верхних ступеней меньше, чем для нижних.
4.Расчет заканчивается, когда минимальная стартовая масса ра- кеты-носителя будет больше по сравнению с предыдущим расчетом.
Следует заметить, что если бы значения конструктивных характеристик ракетных блоков различных ступеней были равны, то стартовая масса ракеты-носителя не имела бы точки минимума (она бы уменьшалась с увеличением количества ступеней).
Оптимальным считается количество ступеней, при котором стартовая масса ракеты минимальна. Процедура нахождения оптимального числа ступеней иллюстрируется графиком, представленным на рис. 8.7. На этом рисунке по оси ординат откладываются расчетные значения отношения стартовой массы ракеты-носителя к массе полезной нагрузки.
Однако при этом следует учитывать, что при увеличении количества ступеней уменьшается надежность ракеты-носителя в целом.
189
Поэтому при окончательном выборе необязательно останавливаться на варианте с минимальной стартовой массой, если, например, стартовые массы ракеты не очень отличаются. В этом случае лучше выбрать вариант с меньшим количеством ступеней.
В настоящее время принято, что для вывода полезной нагрузки на низкую опорную орбиту достаточно двух или трех ступеней, в зависимости от используемых компонентов топлива и конструктивнокомпоновочной схемы ракеты.
p0
p0opt
N opt
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Количество ступеней, N
Рис. 8.7. Иллюстрация к вопросу о выборе количества ступеней ракеты
Так, для схемы с последовательным соединением ракетных блоков и при использовании в качестве топлива пары "керосин + жидкий кислород" или пары " жидкий водород + жидкий кислород" достаточно двух ступеней. Для схемы с параллельным соединением ракетных блоков и при использовании в качестве топлива пары "жидкий водород + жидкий кислород" также достаточно двух ступеней. Для схемы "трехступенчатый пакет" и при использовании в качестве топлива пары "керосин + жидкий кислород" достаточно трех ступеней.
190