Материал: основы проектирования хим произв дворецкий

206 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

точек S1 будут накапливаться точки, в которых нарушаются жесткие ограниче-

ния (7.11), а во множестве S2 – точки, в которых нарушаются мягкие ограничения (7.12). Кроме того, введем обозначение J = J1 U J2 и в алгоритме используем вспомогательную задачу НЛП (Б):

ных (оптимальных заданий регуляторам САС) переменных z , при которых достигается минимальное значение целевой функции при условии выполнения всех

ограничений задачи (Б) в заданном наборе точек ξl , l I (ν) .

сиспользованием алгоритма внешней аппроксимации [38]. Обозначим через

ξ(ν) решение задачи (7.13) и проверяем выполнение условия

в точке решения ξ(ν) задачи (7.13). Если условие (7.14) не выполняется, то переходим к шагу 5, в противном случае – к шагу 6.

ОЦЕНКА ГИБКОСТИ И ОДНОЭТАПНОЕ ИНТЕГРИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ХТС… 207

Шаг 5. Дополним множество точек S1(ν) , в которых нарушаются ограниче-

ния (7.14), точкой ξ(ν) , т.е.

увеличиваемчислокритическихточек n на1, n = n +1 , p = a5 ипереходимкшагу9. Шаг 6. Проверяем выполнение мягких (вероятностных) ограничений

Если условие (7.14) выполняется, а условие (7.15) не выполняется, то переходим к шагу 8.

Если условия (7.14), (7.15) выполняются, то решение для заданного типа аппаратурного оформления найдено a(μ) , d (μ) = d (ν) , z(μ) = z(ν) и алгоритм

заканчивает свою работу.

Шаг 7. Проверяем выполнение условия «Множество альтернативных типов аппаратурного оформления ТС исчерпано?», т.е. μ ≥ μзад . Если «Да», то получа-

ем окончательное решение a = a(μ) , d = d (μ) , z = z(μ) , i I (ν) , и алгоритм за-

канчивает свою работу. В противном случае переходим к альтернативному типу аппаратурного оформления, т.е. увеличиваем число μ на единицу и переходим

к шагу 2.

Шаг 8. Вычисляем

с использованием алгоритма внешней аппроксимации [38]. Обозначим через ξ(ν) решение задачи (7.16) и дополним точкой ξ(ν) множество точек S2(ν) , в которых нарушаются мягкие ограничения (7.15), т.е.

S2(ν) = S2(ν−1) U ξ(ν) , I2(ν) = I2(ν−1) U (n +1) , p = a8,

и увеличиваем число критических точек n на 1, n = n +1 .

чения выполняются с вероятностью 1. Поэтому, если не выполняется условие

208 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

(7.15), то заведомо не выполняется условие χ2 (a(μ) , d (ν) , z(ν) ) ≤ 0 и, следова-

тельно, мы получим точку ξ(k ) , в которой нарушаются мягкие ограничения.

Из вышесказанного следует, что задачи оптимизации первого блока при проектировании ХТП и САУ формулируются в форме задач НЛП с ограничениями типа равенств и неравенств. В случае многих переменных квадратичная аппроксимация (например используемая в методе Ньютона) обычно дает хорошие оценки точек безусловного минимума. Более того, группа квазиньютоновских методов позволяет пользоваться преимуществами квадратичной аппроксимации, не строя в явном виде полную аппроксимирующую функцию второго порядка на каждой итерации. Квазиньютоновские методы способны ускорить вычислительный процесс при использовании их в рамках процедур определений направлений поиска для методов приведенного градиента и проекций градиента.

В сформулированных выше задачах (7.1) – (7.3), (7.4), (7.10) – (7.12) находятся такие значения типа технологического аппарата, векторов конструктивных и режимных переменных, при которых достигается минимум целевой функции (7.1) независимо от того какое значение принимает вектор неопределенных параметров ξ в заданной области Ξ . Если решение задачи не может быть найдено

для заданной области Ξ , то необходимо поэтапно уменьшать область неопределенности Ξ , т.е. уточнять исходные данные для проектирования до тех пор, пока решение задачи не будет получено. Таким образом формируется техническое задание на точность определения исходной информации для проектирования управляемых процессов и аппаратов пищевых и химических технологий.

Предположим, что задача ОЗИП решена и получено решение [a , d , z ] .

Для его реализации необходимо обеспечить выполнение условий z = z на этапе функционирования ХТС. Это означает, что мы лишены возможности изменять управляющие переменные z на этапе функционирования ХТС для выполнения регламентных требований и проектных ограничений. Ясно, что постановка и решение одноэтапной задачи интегрированного проектирования приводят к не вполне экономичным конструкциям аппаратов ХТС, так как не допускается использование настройки управляющих переменных z на этапе функционирования ХТС.

7.2.ДВУХЭТАПНОЕ ИНТЕГРИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ХТС

ВУСЛОВИЯХ ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Все формулировки двухэтапных задач интегрированного проектирования (ДЗИП) будут учитывать возможность уточнения неопределенных параметров ξ и изменения управляющих переменных z на этапе функционирования ХТС. В этом состоит принципиальная разница между задачами ДЗИП и ОЗИП. В задаче ОЗИП (см. задачи (7.1), (7.2); (7.1), (7.4) и (7.10) – (7.12)) переменные a, d, z рав-

ноправны в том смысле, что они не изменяются на стадии функционирования

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 209

ХТС. В двухэтапной задаче возможны два случая: а) переменные a, d попрежнему постоянны на этапе функционирования ХТС, в то время как переменные z могут изменяться; б) переменная a и одна часть конструктивных переменных d k, k = 1, 2, …, k1 постоянны на стадии функционирования ХТС, в то время как другая часть конструктивных переменных d k, k = k1, k1 + 1, …, K и управляющие переменные z могут изменяться. В частности, это свойство позволяет настраивать конструктивные d k параметры наряду с управляющими z переменными для удовлетворения ограничений задачи.

При формулировке задачи ДЗИП используем следующее предположение – на стадии функционирования ХТС в каждый момент времени:

а) выполняется уточнение всех или части неопределенных параметров ξ на основе доступной экспериментальной информации;

б) решается задача ДЗИП с использованием математической модели с уточненными неопределенными параметрами ξ и найденный оптимальный режим реализуется на этапе функционирования ХТС.

Введем понятие области гибкости ХТС. Она состоит из точек области неопределенности Ξ, для которых можно найти такие значения управляющих переменных z, при которых все ограничения задачи интегрированного проектирования g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 будут выполняться.

Двухэтапная задача оптимизации с жесткими ограничениями

Предположим, что на этапе функционирования ХТС определяются точные значения всех неопределенных параметров, при этом все ограничения являются жесткими.

Рассмотрим условие работоспособности (гибкости) ХТС: ХТС является гибкой, если для каждого ξ Ξ можно найти такие значения (режимных) управ-

ляющих переменных z, что все ограничения задачи будут удовлетворены. Задачу оптимизации в задаче ДЗИП ХТС с использованием математической

модели y = (a, d, z, ξ) с уточненными неопределенными параметрами на ста-

дии функционирования ХТС назовем внутренней задачей интегрированного проектирования. В данном случае она имеет вид

С (a, d, ξ) = min C(a, d, z, ξ) ;

z

Условие гибкости для задачи ДЗИП имеет вид

χ1(a, d) = max min max g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 .

ξ Ξ z j J

Предположим, что функция плотности распределения вероятности P(ξ) известна. Поскольку в каждый момент времени на стадии функционирования

ХТС значение критерия оптимизации будет равно С (a, d, ξ) , то на стадии про-

210 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

ектирования ХТС можно оценить будущую работу ХТС, подсчитав математическое ожидание M {•} величины С (a, d, ξ) :

M ξ{C (a, d, ξ)}= ∫C (a, d, ξ) P(ξ) dξ .

Ξ

Эта величина будет использоваться как целевая функция в задаче интегрированного проектирования в условиях неопределенности. Результирующая двухэтапная задача есть задача стохастического программирования с рекурсией:

Предположим, что внутренняя задача интегрированного проектирования (7.17) имеет решение во всех точках ξ и функция плотности распределения вероятности P(ξ) известна. Тогда имеем

mina,d Ξ∫minz {C(a, d, z, ξ) | g j (a, d, z, ξ) ≤ 0}P(ξ) dξ .

Поскольку интеграл есть бесконечная сумма и переменные z, соответствующие различным ξ, независимы друг от друга, то можно изменить порядок операторов интегрирования и минимизации:

Так как оптимальное значение z во внутренней задаче ДЗИП (7.17) зависит от ξ, то z есть многомерная функция z(ξ). Таким образом, в задаче (7.19) находим оптимальные векторы a, d и оптимальную многомерную функцию z(ξ), достав-

ляющую функционалу ∫C(a, d, z(ξ), ξ) P(ξ) dξ минимальное значение. Объеди-

Ξ

няя оба оператора минимизации по a, d и z(ξ), получим задачу ДЗИП для случая 1 (ДЗИП1):

Задача (7.20), (7.21) имеет бесконечное число ограничений и поисковых переменных (одна многомерная функция z(ξ) эквивалентна бесконечному числу обычных поисковых переменных). Решение задачи (7.18) a*, d* гарантирует гибкость ХТС, так как внутренняя задача (7.17) ДЗИП1 решается во всех точках ξ Ξ. При этом нельзя гарантировать, что задача (7.17) имеет решение для каж-