Материал: основы проектирования хим произв дворецкий

ОЦЕНКА ГИБКОСТИ И ОДНОЭТАПНОЕ ИНТЕГРИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ХТС… 201

Для решения задачи (7.1), (7.2) используем алгоритм внешней аппроксимации [38] и вспомогательную задачу (А):

I = min ∑wi C(a, d, z, ξi ) ;

a,d ,z i I1

мых для приближенного вычисления математического ожидания в целевой функции (7.1); S2(ν) ={ξl : ξl Ξ, l I2(ν)} – множество критических точек;

I2(ν) − множество индексов точек ξl , в которыхнарушаютсяограничения(7.2), (7.3).

Тогда алгоритм решения задачи (7.1) – (7.3) можно записать в следующем виде.

Алгоритм 7.1.

Шаг 1. Полагаем число итераций ν =1, выбираем совокупность аппрокси-

g j (a, d, z, ξl ) ≤ 0 , j =1, m ; ξl S2(ν−1) ; l I2(ν−1)

и определяем a(ν) , d (ν) , z(ν) . Шаг 3. Решаем m-задач

max g j (a(ν) , d (ν) , z(ν) , ξ) , j =1, m ,

ξ Ξ

и определяем m точек ξl,(ν) , l =1, m .

Шаг 4. Образуем множество новых критических точек на ν-й итерации:

R(ν) = {ξl,(ν) : g j (a(ν) , d (ν) , z(ν) , ξl,(ν) ) > 0}.

Если это множество пустое, то решение задачи получено, алгоритм закан-

чивает работу.

В противном случае переходим к шагу 5.

202 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

Шаг 5. Формируем новое множество критических точек S2(ν) = S2(ν−1) U R(ν)

и, полагая ν: = ν + 1 , переходим к шагу 2.

Этот алгоритм дает решение задачи (7.1) – (7.3), если операции на шагах 2 и 3 выполняются в глобальном смысле. Поскольку выполняется неравенство

g j (a, d, z, ξl ) ≤ max g j (a, d, z, ξ), ξl Ξ , j =1, m ,

ξ Ξ

то в соответствии с теоремой П.2 [38] задача (А) дает нижнюю оценку задачи (7.1) – (7.3): I (ν) ≤ I . Пусть (a , d , z ) −решение, полученное этим алгорит-

мом. В точке (a , d , z ) выполняется следующее условие

меньше I , поэтому I (νˆ ) = I .

На каждой итерации этот алгоритм выполняет две основные операции. Первая операция связана с получением нижней границы целевой функции (7.1).

Вторая операция связана с проверкой, является ли точка (a(ν) , d (ν) , z(ν) ) реше-

удовлетворяется, то решение задачи (7.1) – (7.3) найдено. В противном случае точки ξl,(ν) , в которых условия нарушаются, добавляются во множество критических точек S2(ν) .

Характерной чертой алгоритма 1 является увеличение числа критических точек на каждом шаге и, соответственно, увеличение числа ограничений. Это является определенным недостатком, поскольку в некоторых случаях при большом числе критических точек число ограничений может стать слишком большим.

Остановимся подробнее на шаге 3. Как правило, характер функций gj неизвестен. В этом случае можно использовать такой подход. Предполагаем на первом этапе, что функции gj выпуклы. В этом случае решение задачи

max g j (a(ν) , d (ν) , z(ν) , ξ) , j =1, m ,

ξ Ξ

находится в одной из вершин параллелепипеда Ξ. В начальное множество критических точек S2(0) включается некоторое количество угловых точек куба Ξ,

ОЦЕНКА ГИБКОСТИ И ОДНОЭТАПНОЕ ИНТЕГРИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ХТС… 203

а на шаге 3 рассчитываются значения функций g j (a(ν) , d (ν) , z(ν) , ξ) , j =1, m

во всех угловых точках куба Ξ, не принадлежащих множествам S2(ν) и S1. Среди этих точек выбираются m точек, в которых функции g j (a(ν) , d (ν) , z(ν) , ξl ) ,

j , l =1, m принимают наибольшие значения, из которых включаются в число критических точек те точки, в которых нарушаются ограничения. Далее формируется новое множество критических точек S2(ν+1) = S2(ν) UR(ν) и переходим

к шагу 2 алгоритма 1.

При формулировании задачи ОЗИП с мягкими (вероятностными) ограничениями предположим, что имеем полную информацию относительно функции распределения вероятностей для ξ. В этом случае постановка задачи ОЗИП имеет вид

min Mξ{С(a, d, z, ξ)};

a,d ,z

Ω j

Ω j = {ξ: g j (a, d, z, ξ) ≤ 0, ξ Ξ },

где P(ξ) −функция плотности вероятности.

Главная трудность решения сформулированной задачи ОЗИП состоит в необ-

ходимости вычисления многомерных интегралов Mξ{С(a, d, z, ξ)} и ∫P(ξ) dξ .

Ω j

Возможна и другая формулировка задачи ОЗИП, в которой в качестве критерия будет использоваться его верхняя граница, которая не может быть нарушена с заданной вероятностью:

Здесь α – новая переменная, ограничивающая целевую функцию С(a, d, z, ξ) . Сравним формулировку задачи ОЗИП (7.5) с постановкой задачи

(7.4). В задаче (7.5) найдем наименьшее значение α переменной α , для которой условие С(a, d, z, ξ) − α ≤ 0 удовлетворяется с заданной вероятностью ρ0 .

Таким образом, решив задачу ОЗИП (7.5), находим конструкцию ХТС a , d

и режим z , которые гарантируют, что в процессе функционирования ХТС целевая функция С(a , d , z , ξ) будет меньше, чем α с вероятностью ρ0 .

204 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

Перепишем задачу (7.4) в терминах А-задач стохастического программирования [34]: требуется определить тип a A аппаратурного оформления проектируемых процессов химических технологий, векторы конструктивных dα и

режимных zα переменных (оптимальных заданий регуляторам САС), а также

Возможность применения метода А-задач стохастического программирования должна всегда доказываться либо аналитическим доказательством выполнения достаточных условий, либо вычислительным экспериментом, подтверждающим выполнение достаточных условий.

В соответствии с методом А-задач стохастической оптимизации нами разработан следующий алгоритм решения задачи (7.6).

Алгоритм 7.2.

Шаг 1. Полагаем число итераций ν = 1, задаем значения вектора гарантиро-

при связях в форме уравнений математической модели статики проектируемого технологического процесса и аппарата

y = (a, d, z, ξi )

Шаг 3. В точке (aα(0) , dα(0) , zα(0) ) , которая является решением задачи (7.7), (7.8), вычисляются вероятности выполнения ограничений g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 с использованием генератора случайных чисел ξ с равномерным законом распреде-

ления и математической модели

y = (a, d, z, ξ)

ОЦЕНКА ГИБКОСТИ И ОДНОЭТАПНОЕ ИНТЕГРИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ХТС… 205

и проверяется выполнение условий

Prξ{g j (a, d, z ξ) ≤ 0}≥ ρ j , j =1, ..., m .

Шаг 4. Если вероятностные ограничения не выполняются, т.е. α(ν) Λ , включается алгоритм входа в допустимую область Λ. Простейшим алгоритмом

такого типа является уменьшение α(jv) для нарушенных ограничений. Далее чис-

ло ν увеличивается на 1, т.е. ν: = ν + 1 и следует переход к шагу 2.

Шаг 5. Если вероятностные ограничения выполняются, то вектор α* находим из решения внешней А-задачи оптимизации

В общем случае задача (7.9) может быть решена подходящим методом нелинейного программирования. Однако можно использовать простейший алгоритм коррекции вектора α Λ путем увеличения его компонентов на величину

α j = λ(ν) (Prξ[g j (•) ≤ 0] − ρ j ) ,

где λ(ν) – шаг коррекции на ν-й итерации, подбираемый опытным путем. Поиск α* прекращается, если αj для j становится меньше заранее заданного малого

числа ε (точность поиска α*).

Вычисление вероятностных интегралов производится стандартными методами (латинского гиперкуба и последовательности проб Хаммерслея (HSS) и Монте-Карло).

Сформулируем одноэтапную задачу оптимизации конструктивных параметров и режимных переменных (оптимальных заданий регуляторам САС) со сме-

i I , в которых нарушаются ограничения (7.11)–(7.12), причем во множестве