Материал: основы проектирования хим произв дворецкий

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 211

дого a A, d D и ξ Ξ. Поэтому задача (7.18) должна быть дополнена услови-

ем гибкости χ1(a, d) = max min max g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 , т.е.

ξ Ξ z j J

C1 = min M ξ {C (a, d, ξ)};

a,d

χ1(a, d) ≤ 0 .

В результате получаем другую постановку задачи ДЗИП1:

C1 = a,mind , z(ξ) Ξ∫C(a, d, z(ξ), ξ) P(ξ) dξ); g j (a, d, z(ξ), ξ) ≤ 0, j =1, ..., m, ξ Ξ ;

χ1(a, d) = max min max g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 .

ξ Ξ z j J

∑ωi =1 . Кроме того, заменим бесконечное число ограничений конечным чис-

i I1

В случае, если функции распределения неопределенных параметров неизвестны, аппроксимационные точки желательно выбирать таким образом, чтобы они попадали в область наиболее вероятных значений, которые параметры ξ могут принимать при функционировании ХТС, и достаточно плотно покрывали область Ξ. В некоторых случаях ДЗИП решается без ограничений

χ1(a, d) = max min max g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 :

ξ Ξ

212 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

g(a, d, zi , ξi ) ≤ 0 , i I2 .

Здесь множество I2 содержит аппроксимационные и некоторые дополнительные (критические) точки. Эта постановка задачи оправдана только в случае, когда аппроксимационные точки достаточно плотно покрывают область Ξ.

Это требует большого числа аппроксимационных точек даже для сравнительно малой размерности nξ вектора ξ. Если число узловых точек по каждой компо-

ненте вектора ξ равно p, то число аппроксимационных точек будет равно pnξ .

В этом случае размерность задачи будет равна na + nd + pnξ nz . В случае когда число аппроксимационных точек невелико, использование ограничения χ1(a, d) ≤ 0 совершенно необходимо, так как это гарантирует выполнение огра-

g j (a, d, zi , ξi ) ≤ 0 , j J , i I1 ;

zj J j (a, d, z, ξ) ≤ 0 , ξ Ξ .

Вслучае, если функции распределения неопределенных параметров неизвестны, аппроксимационные точки желательно выбирать таким образом, чтобы они попадали в область наиболее вероятных значений, которые параметры ξ могут принимать при функционировании ТС и достаточно плотно покрывали

g(a, d, zi , ξi ) ≤ 0 , i I2 .

Здесь множество I2 содержит аппроксимационные и некоторые дополнительные (критические) точки. Эта постановка задачи оправдана только в случае, когда аппроксимационные точки достаточно плотно покрывают область Ξ.

Пусть [a , d , zi ] − решение задачи (7.22) – (7.24). Обозначим через SΞ бесконечное множество точек, содержащихся в области Ξ , и через SA.P −множест-

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 213

во точек ξp , которым соответствуют активные ограничения в точке решения задачи (7.22) – (7.24):

SA.P ={ξp : h(a , d , ξp ) = 0 , ξp Ξ} .

Назовем эти точки активными. Из теоремы П.7 [38] следует, что решение [a , d , zi ] задачи (7.22) – (7.24) естьрешение(локальный минимум) задачи

I1 = mini ∑ωi C(a, d, zi , ξi ) ;

a, d , z i I1

g j (a, d, zi , ξi ) ≤ 0 , j J , i I1 ;

h(a, d, ξp ) = min max g j (a, d, z, ξp ) = 0 , ξp S A.P .

z j J

Определим нижнюю границу для задачи (7.22) – (7.24). Для этого введем некоторое произвольное множество точек S2 ={ξl : l I2 , ξl Ξ} , из области неопределенности Ξ , где I2 −множество индексов точек в S2 . Точки S2 назовем

критическими точками. Рассмотрим задачу

в конкретном алгоритме, получено добавлением одной или нескольких точек к множеству критических точек S2(k ) , тогда I1L,(k +1) ≥ I1L,(k ) .

Действительно, так как S2(k ) S2(k +1) , то соотношение I1L,(k +1) ≥ I1L,(k ) следу-

ет из теоремы П.1 [38]. Таким образом, добавление точек к исходному множеству критических точек не ухудшает нижнюю границу, а в большинстве случаев ее улучшает.

Если множество критических точек ξl , принадлежащих множеству S2(k ) , покрывает достаточно плотно область Ξ , то решение задачи (7.25) – (7.27) достаточно близко к решению задачи ДЗИП1, таким образом I1 − I1L,(k ) ≤ ε , где ε – достаточно малая положительная величина.

214 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

Сравним задачи (7.25) – (7.27) и (7.31) – (7.33). Прямое решение задачи (7.25) – (7.27) требует использования методов недифференцируемой оптимизации, так как функция h(a, d, ξ) недифференцируема. В свою очередь, задача

(7.31) – (7.33) является задачей дифференцируемой оптимизации и для ее решения могут быть использованы высокоэффективные методы нелинейного программирования.

Верхняя граница для ДЗИП1. Пусть область Ξ разбита на Nν подобластей

Ξi(ν) (Ξi(ν) ={ξ: ξL,i,(ν) ≤ ξ ≤ ξU ,i,(ν)}) , причем Ξ = Ξ1(ν) U...UΞ(Nνν) , где ν − номер итерации алгоритма решения задачи ДЗИП1. Заменим в задаче ДЗИП1 одно

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 215

называть точку ξ j,(l) активной, если соответствующее неравенство (7.39) является активным в точке решения задачи (7.37), т.е. g j (a(ν) , d (ν) , zl,(ν) , ξ j,(l) ) = 0 .

Введем множество активных точек SA(ν.P) задачи (7.37) – (7.39):

SA(ν.P) = {ξl, j : g j (a(ν) , d (ν) , zl,(ν) , ξ j,(l) ) = 0, l =1, ..., Nν, j =1, ..., m }.

Будем называть область Ξl(ν) активной, если ей соответствует хотя бы одно равенство g j (a(ν) , d (ν) , zl,(ν) , ξ j,(l) ) = 0 . Активной области с номером l соответ-

ствует условие χ1U,l (a, d) = 0 . Ясно, что число активных областей не может быть

больше размерности вектора конструктивных параметров. Используя теорему П.6 [38], можно записать задачу (7.37) – (7.39) в виде

Задача (7.34) – (7.36) имеет следующие свойства:

1)величина С1U ,(ν) является верхней границей оптимального значения целевой функции ДЗИП1;

2)дробление некоторых подобластей множества Ξ( p) не ухудшает верхнюю границу ДЗИП1, а в большинстве случаев даже ее улучшает;