Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Формула (29.20) показывает, как энергия равновесного излучения распределена по частотам.

Дальнейшее углубление понимания природы теплового излучения привело к представлениям об излучении как о газе особых частиц — фотонов (квантов) с энергией $ω. Выяснение свойств фотонного газа — один из важных предметов квантовой физики.

29.3. Релятивистское соотношение между импульсом и энергией

Специальная теория относительности (СТО) дает следующее соотношение между импульсом p и энергией W частицы:

Выражение в правой части, содержащее массу частицы m и скорость света в вакууме c, одинаково в любой инерциальной системе отсчета, т.е. является инвариантом.

Связь (29.21) между энергией и импульсом, даваемая СТО, отличается от классического выражения, Это сразу видно, например, для

свободной частицы, энергия W которой равна p2/2m. Чтобы установить связь между СТО и классической механикой рассмотрим выражение (29.21) при скоростях, малых по сравнению со скоростью c (v/c = = mv/(mc) ≈ p/(mc) << 1; знак «≈» связан с использованием для малых скоростей нерелятивистского соотношения p = mv):

W = (mc2 )2 + (pc)2 = mc2 1 + [p ⁄ (mc)]2 ≈

Как видно из (29.22) к «старой» кинетической энергии (второму

слагаемому) в СТО добавляют постоянную величину mc2, называемую энергией покоя.

При произвольных скоростях кинетическая энергия свободной частицы также равна разности полной энергии W и энергии покоя mc2.

Легко видеть, что в отличие от классической механики СТО допускает существование «частиц без массы», обладающих энергией и импульсом. Действительно, подстановка в (29.21) m = 0 дает:

«Безмассовые» частицы действительно существуют в природе. Примером таких объектов являются частицы света фотоны (от лат. photos – свет).

471

Как оказалось, энергия и импульс фотонов выражаются через обычные характеристики волны — частоту и волновой вектор:

Соотношения (29.24), называемые соотношениями де Бройля, связывают представления о свете как об электромагнитной волне с квантовыми (на что указывает постоянная Планка) представлениями о свете как о потоке частиц.

Пример 29.6. Давление света, нормально падающего на поглощающую площадку, равно интенсивности, деленной на скорость света. Классическое рассмотрение вопроса о световом давлении довольно громоздко. Если же использовать идею фотонов и соотношение (29.23), то результат тривиален. Интенсивность — это энергия фотонов, падающих в единицу времени на единичную площадку, а давление, соответственно, — импульс, передаваемый этой площадке фотонами в единицу времени. Импульс равен энергии, деленной на скорость с.

Следует сказать, что все оптические явления могут быть поняты с точки зрения квантовых («корпускулярных») представлений (в том числе задачи геометрической и волновой оптики). При этом существует ряд наблюдаемых эффектов, объяснение которых возможно только с использованием представления о фотонах.

29.4. Эффект Комптона

При упругом столкновении фотона с электроном (вместо слова «столкновение» используют термин «рассеяние») фотон передает часть своей энергии электрону и, в соответствии с (29.24), меняет частоту. Эффект уменьшения частоты света при рассеянии на электронах называется эффектом Комптона.

Для количественных вычислений воспользуемся законами сохранения энергии и импульса. Пусть фотон с энергией Wф и импульсом

º

pф рассеивается на угол θ (рис. 29.3) на неподвижном электроне

массой m. В результате фотон и электрон получают новые энергии и импульсы, которые отметим штрихами. Законы сохранения энергии и импульса дают:

472

Вычитая из верхнего уравнения нижнее, с учетом (29.21), полу-

Так как, согласно (29.24), p = $k = 2π$ ⁄ λ ≡ h ⁄ λ , то окончательно получаем:

электрона.

Отметим, что в качестве единицы длины в микромире часто пользуются значением размера атома — ангстремом (1A° = 10– 10 м). Таким образом λК ≈ 0,024 A° .

473

Из выражения (29.26) следует, что длина волны λ′ излучения, рассеянного на угол θ, больше длины волны падающего излучения λ на значение Δλ, зависящее только от угла θ.

Эксперимент по проверке формулы (29.26) был проведен в 1922 г. Артуром Комптоном. Источником фотонов (λ = 0,71æ10– 10 м =

= 0,71 A° ) служила рентгеновская трубка, а мишенью — графит. В качестве прецизионного спектрального прибора Комптону послужила «естественная дифракционная решетка» — монокристалл. Рентгеновские фотоны высоких энергий были необходимы Комптону по следующим причинам. Во-первых, в этом случае было оправдано пренебрежение неизвестными в то время точно кинетической энергией и энергией связи с кристаллической решеткой электронов графита в (29.25), а во-вторых, из-за крайней малости λК уменьшение

частоты (увеличение Δλ) для коротковолнового излучения было легче зарегистрировать.

Кроме фотонов, увеличивших длину волны, в экспериментах Комптона также наблюдались фотоны, рассеянные на угол θ ≠ 0, но не изменившие частоты. Оказалось, что это фотоны, рассеянные на ядрах углерода. Так как ядра во много тысяч раз тяжелее электронов, то комптоновский сдвиг от рассеяния на ядрах на 3 — 4 порядка меньше (масса частицы-мишени в выражении для λК стоит в знаме-

нателе).

Эксперименты Комптона показали, что рассеяние фотонов происходит аналогично рассеянию любых других частиц. В рамках волновой оптики объяснить эффект изменения частоты света в данном эксперименте не удается.

29.5. Фотоэффект

Фотоэффектом называют испускание веществом электронов под действием света. Эффект был открыт в 1887 г. Генрихом Герцем, а всесторонне исследован в 1888 г. русским ученым А.Г. Столетовым. Последний экспериментально обнаружил и сформулировал важные закономерности явления: наиболее эффективно действуют ультрафиолетовые лучи (существует «красная граница» — максимальная длина волны, при которой эффект имеет место); количество испускаемых заряженных частиц пропорционально интенсивности падающего излучения; под действием света испускаются только отрицательные заряды (в 1889 г. Ленард и Томсон доказали, что это электроны).

474

Все попытки объяснить фотоэффект с помощью классических представлений о свете как электромагнитной волне сталкивались с непреодолимой трудностью. Было непонятно, почему вне зависимости от интенсивности только свет с малой длиной волны вызывает испускание электронов. Иными словами, с чем связан феномен «красной границы»?

Ответ был получен в 1905 г. Эйнштейном, развившем идеи Планка о «прерывистом» испускании света — «порциями» с энергией $ω. Как мы уже знаем, эти порции получили название квантов, или фотонов.

Эйнштейн записал уравнение, используя следующую модель. Фотон, поглощаясь в веществе, передает свою энергию электрону, и если этой энергии достаточно для преодоления притяжения электрона к ионам кристаллической решетки (совершения работы выхода А), то электрон может покинуть вещество, что и составляет суть фотоэффекта. Тогда можно записать ограничения, накладываемые законом сохранения энергии на данный процесс, в виде

где mv 2 / 2 — максимальная кинетическая энергия электрона, вылетевшего из образца. Уравнение (29.27) называют уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. Очевидно, что при $ω < A фотоэффект невозможен, что и объясняет «красную границу»: ωкр = A/$, или λкр =

= 2π$/ A ≡ h / A.

Соответствие эксперименту уравнения (29.27) доказывает, что свет состоит из неделимых частиц, энергия которых может поглотиться лишь целиком. Действительно, из открытого Планком факта, что свет излучается порциями, еще не вытекает «прерывистая» структура самого света. Как образно заметил Эйнштейн, «если пиво всегда продается в бутылках, содержащих пинту, отсюда не следует, что пиво состоит из неделимых частей, равных пинте».

Отметим, что приведенная метафора Эйнштейна на первый взгляд опровергается открытым позже эффектом Комптона, в котором вроде бы «поглощается» как раз «часть» фотона. В связи с этим следует сказать, что по представлениям современной физики эффект Комптона выглядит так: падающий на электрон фотон исчезает и рождается новый — «рассеянный».

Распространенным устройством, использующим фотоэффект, является фотоэлемент (рис. 29.4). В стеклянной вакуумной колбе находятся два металлических электрода: анод 1 и катод 2. На анод подается плюс источника питания, на катод — минус (разность потенциалов между анодом и катодом называется анодным напряжением U ). При освещении катода светом возникает фототок.

475