Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Записывая решение этих уравнений в общем виде, используя непрерывность волновой функции и ее производной, симметрию задачи, можно прийти к следующему результату: полная энергия частицы Е может принимать конечное число дискретных значений Е0,

Е1, …, Еn, лежащих в интервале (U0, 0), т.е. U0 < Е0 < Е1 < …< Еn< 0,

т.е. полная энергия частицы Е, находящейся в яме, квантована. Именно в этом заключено главное отличие результата квантовомеханической задачи от классического ее решения. При этом частица не может покинуть ямы.

2) E > 0. В этом случае оба подхода, классический и квантовый, дают один результат: частица может находиться в любой области оси X, ее полная энергия может принимать любое значение в интервале 0 < E< ×.

Пример 30.11. Одномерный «потенциальный барьер».

П о с т а н о в к а з а д а ч и . Зависимость потенциальной энергии частицы, показанная на рис. 30.13, вида U(x) = 0 при x < 0 и U(x) = U0 > 0

при x ≥ 0 называется потенциальным барьером. Частица с энергией Е движется слева направо по направлению к барьеру. Необходимо объяснить характер движения частицы в зависимости от ее полной энергии Е.

К л а с с и ч е с к о е р е ш е н и е . Если полная энергия частицы Е меньше «высоты» барьера U0, то частица отражается от него без

потери скорости; в противном случае (Е > U0) частица преодолевает барьер и движется в прежнем направлении с меньшей скоростью.

К в а н т о в о е р е ш е н и е . Необходимо решить два уравнения Шредингера:

В области x < 0 оно имеет вид

496

В области x > 0 оно записывается в виде

Полученная волновая функция должна быть непрерывна вместе с первой производной, что позволяет найти решение ψ(x). Отметим основные результаты решения уравнения Шредингера.

1) Е > U0. Существует ненулевая вероятность отражения частицы от барьера. Коэффициент отражения от барьера имеет вид:

k – β 2

R = ------------ ,

k + β

а коэффициент прохождения барьера

4kβ

D = --------------------- .

(k + β) 2

Отметим, что коэффициентом отражения R называют долю общего потока падающих частиц, приходящуюся на поток частиц отраженных. Аналогично определяется коэффициент прохождения барьера D.

2) E < U0. В этом случае коэффициент отражения R = 1, коэффи-

циент прохождения D = 0, но волновая функция справа от барьера имеет ненулевые значения, экспоненциально затухая с ростом х.

Особо интересен случай, когда барьер имеет конечную ширину d (рис. 30.14). Решение квантовомеханической задачи при E < U0

(классически непреодолимый барьер) позволяет определить ненулевой коэффициент прохождения D этого барьера в виде

Данное явление получило название «туннельного эффекта»; оно экспериментально открыто и используется в современных технологиях. Покажем на примитивном примере историю этого названия. На

рис. 30.15, а движущаяся со скоростью v < 2gh частица, которая должна подняться до точки А горки и вернуться назад, преодолевает горку и оказывается правее нее, двигаясь с прежней скоростью (рис. 30.15, б ). Все происходит так, как будто в горке имеется туннель

497

a) б)

A

v0

в)

Рис. 30. 15

(рис. 30.15, в), который «помог» частице преодолеть энергетический барьер.

Пример 30.12. Гармонический осциллятор. Назовем гармоническим осциллятором частицу, движущуюся по прямой линии, на которую действует возвращающая в положение равновесия сила, пропорциональная смещению частицы от положения равновесия. Масса частицы m, коэффициент пропорциональности между силой и смещением частицы k.

П о с т а н о в к а з а д а ч и. Описать характер движения частицы в зависимости от ее полной энергии E = p2 ⁄ (2m) + U(x) , где U(x) =

12

=--2-- kx (рис. 30.16).

E1

E0

Рис. 30. 16

498

К л а с с и ч е с к о е р е ш е н и е. Положительная полная энергия частицы E = p2 ⁄ (2m) + kx2 ⁄ 2 может быть любой. При фиксированной E = E0 частица совершает гармонические колебания с амплитудой

осциллятора можно найти, решив уравнение Шредингера:

Математическое решение этого уравнения оказывается достаточно сложным; можно указать, что его решения — волновые функции — выражаются как произведения экспонент на полиномы Чебышева — Эрмита. Анализ этих решений приводит к следующему выводу. Энергетические уровни осциллятора описываются формулой:

En = $ω(n + 1 ⁄ 2) ,

где n = 0, 1, 2, …

Разность энергий соседних уровней равна $ω (они находятся на равных расстояниях один от другого). Кроме того, существует ниж-

совершенно точно известны импульс px и координата х частицы, рав-

ные нулю. Соотношение неопределенностей (один из главных законов квантового мира) x px ≥ h утверждает, что это невозможно.

В заключение скажем, что точное математическое решение уравнения Шредингера даже в упомянутых выше «простейших» трех примерах очень сложно, поэтому мы не привели формул для волновых функций — его решений, а проанализировали следующие из этих решений выводы и различия результатов для классического и квантового решений этих задач.

499

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Раздел I. МЕХАНИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1. Система координат. Система отсчета. Способы задания положения точки в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Понятие траектории. Кинематический закон движения материальной точки. Вектор перемещения. Путь . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Скорость. Нахождение пути. Ускорение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Кинематический закон движения материальной точки

с постоянным ускорением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Нормальное и тангенциальное ускорения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.Вращательное движение абсолютно твердого тела. Кинематические характеристики вращательного движения

вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7. Преобразования скорости и ускорения при переходе

к другой системе отсчета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Глава 2. Динамика поступательного движения твердого тела.. . . . . . . . 20

Глава 3. Работа и энергия в механике поступательного движения . . . . 33

Глава 4. Динамика вращательного движения твердого тела . . . . . . . . . 46

4.1. Момент импульса точки относительно полюса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

500