Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

β

α

e

pэ Х

pф

Рис. 30. 6

которые видны раздельно, порядка длины волны излучения, т.е. наша частица будет давать размытое изображение из-за дифракции света. Причем неопределенность координаты x примерно равна длине волны фотона:

Теперь, чтобы увеличить точность измерения координаты электрона, будем уменьшать длину волны излучения, т.е. увеличивать его частоту. В конце концов мы сможем измерить координату сколь угодно точно. Но мы забыли про импульс. Если мы будем измерять координату макроскопического тела, например песчинки, то за счет освещения ее фотоном импульс песчинки не изменится. А что же будет с микроскопической частицей? При рассеянии фотон может передать электрону максимальный импульс 2pф. Таким образом

неопределенность импульса электрона будет равна px ≈ 2pф, где pф — импульс фотона. Но импульс фотона, как мы знаем, равен pф = = $k = h / λф. Откуда для неопределенности проекции импульса электрона получим:

Итак, уменьшая длину волны, мы тем самым увеличиваем неопределенность импульса электрона. Перемножив неопределенности импульса и координаты (формулы (30.8) и (30.9)), мы снова приходим к принципу неопределенности Гейзенберга

px x ≈ h .

486

Из принципа неопределенности вытекает следствие. В классической механике мы представляли полную энергию частицы в виде суммы кинетической и потенциальной энергий. Кинетическая энергия зависит от скорости, т.е. от импульса частицы, в то время как потенциальная энергия зависит от координаты.

В квантовой механике такое разбиение невозможно, ведь частица не может иметь одновременно определенные координаты и импульс. В квантовой механике имеет смысл только полная энергия.

Пример 30.6. Рассмотрим еще один эксперимент. Во-первых, рассмотрим опыт, схема которого приведена на рис. 30.1. Пусть пули, вылетающие из автомата, пролетают через две щели. Как мы видели, приписанная пуле длина волны де Бройля настолько мала, что обнаружить интерференцию мы не сможем (расстояние между

максимумами оказалось равным x ≈ 10– 32 м). Возьмем маленький участок экрана и посчитаем число пуль, попавших в эту область экрана. Если разделить полученное число на полное число пуль, попавших в экран, то мы получим вероятность попадания пули в данный участок экрана P = N / N. Введем f = P / ( x) — плотность вероятности попадания пули на участок экрана длиной x. Результаты представлены на рис. 30.7.

Теперь закроем сначала одну из щелей, затем другую. Результаты изображены на рис. 30.8.

Теперь, если сложить плотности вероятностей f1 и f2, то мы получим плотность вероятности f:

f = f1 + f2 .

f

487

Эта сумма плотностей вероятностей выражает тот факт, что пуля, попавшая в экран, прошла либо через одну щель, либо через другую.

Проведем аналогичный опыт с электронами. Но для электрона мы должны наблюдать интерференцию. Значит, на экране будет интерференционная картина, т.е. будут чередоваться темные и светлые полосы (рис. 30.9). Если мы закроем одну из щелей, то интерференция исчезнет. Результат представлен на рис. 30.10. Мы видим, что теперь, за счет интерференции f ≠ f1 + f2 .

Но остается вопрос: через какую щель пролетел электрон?

Сделаем следующий опыт. Будем освещать обе щели светом и по рассеянию фотонов на электронах будем определять, где пролетел электрон. Итак, мы будем строить два графика: слева мы отмечаем точку, если электрон пролетел через левую щель, и справа, если электрон пролетел через правую щель. У нас получатся точно такие же графики, что и на рис. 30.10. Если мы построим общий график, то вместо картины на рис. 30.9 мы получим график на рис. 30.7, т.е. теперь плотности вероятностей складываются. Как только мы узнали, через какую щель пролетел электрон, интерференция сразу же прекратилась.

Для того чтобы определить, где пролетел электрон, мы освещали его светом. И фотон, рассеявшись на электроне, передал ему свой импульс, тем самым изменив направление его движения, что привело к исчезновению интерференции. Импульс фотона pф = h / λф.

Это значит, что увеличивая длину волны фотона, мы уменьшаем его импульс и тем самым уменьшаем возмущение электрона фотоном.

488

В конце концов это возмущение станет настолько малым, что интерференция восстановится, и мы снова получим график на рис. 30.9.

Но тут нас ждет одна проблема. Нам понадобится микроскоп для наблюдения рассеянных фотонов. Но как мы видели, с увеличением длины волны изображение электрона становится все более размытым, поскольку x ≈ λф. Так вот, как только интерференционная кар-

тина восстановится, неопределенность координаты электрона превысит расстояние между щелями. И мы опять не сможем сказать, через какую щель пролетел электрон.

Принцип неопределенности формулируется не только для проекции импульса и координаты, но и для энергии и времени:

E t ≥ h. (30.10)

Этот принцип утверждает, что чем короче время существования какого-то состояния (или время измерения параметров этого состояния), тем с меньшей определенностью можно говорить об энергии этого состояния.

Пример 30.7. В качестве примера рассмотрим возбужденное состояние атома. Время жизни возбужденного состояния атома

(естественно, не метастабильного) τ = 10– 8 с, т.е. за это время атом перейдет в невозбужденное состояние, излучив квант света. Найдем неопределенность энергии возбужденного состояния атома с помощью формулы (30.10):

E = h / τ = 6,63æ10– 34 / 10– 8 = 6,63æ10– 26 Дж.

Найдем неопределенность частоты излученного при переходе фотона. Поскольку энергия кванта равна разности энергий возбужденного E1 и невозбужденного E2 уровней $ω = E1 – E2, то неопреде-

ленность частоты

Эта частота соответствует наблюдаемому при эксперименте естественному уширению спектральной линии.

30.5. Скорость волн де Бройля. Волновой пакет

Если ограничиться нерелятивистскими частицами, скорость которых много меньше скорости света в вакууме, то импульс частицы

489

Формула (30.11) представляет собой дисперсионное соотношение для нерелятивистской частицы. При рассмотрении электромагнитных волн мы ввели понятие фазовой и групповой скоростей.

Фазовая скорость

представляет собой скорость бесконечной синусоидальной волны. Групповая скорость

есть скорость распространения огибающей волнового пакета. В вакууме эти скорости не различаются и равны скорости света в вакууме. В среде фазовые и групповая скорости различаются в силу дисперсии света. Вдали от области поглощения групповая скорость характеризует скорость распространения сигнала.

Найдем фазовую и групповую скорости частицы. По аналогии с фотонами

С помощью формул(30.2), (30.12), (30.13) найдем фазовую и групповую скорости частицы:

vф = p / 2 m; vгр = p / m.

Поскольку p = mv, то vф = v / 2 , vгр = v.

Итак, мы пришли к выводу, что фазовая скорость волны де Бройля

в2 раза меньше скорости частицы, в то время как групповая скорость равна скорости частицы.

Таким образом, частице необходимо сопоставлять не одну бесконечную синусоидальную волну, а волновой пакет, групповая скорость которого и равна скорости частицы.

При изучении дисперсии света мы выяснили, что волновой пакет

всреде расплывается в силу того, что фазовые скорости волн, из которых состоит волновой пакет, различны. Однако в вакууме все фазовые скорости одинаковы и волновой пакет, состоящий из электромагнитных волн, не расплывается.

Будет ли расплываться волновой пакет волн де Бройля? Рассмотрим частицу, описываемую в начальный момент времени

волновым пакетом, изображенным на рис. 30.11. Пусть частица движется вдоль оси X. Ширина волнового пакета описывает не что иное,

как неопределенность координаты x0.

Такой частице мы должны сопоставить группу волн де Бройля с длинами волн от λ до λ + Δλ. Причем λ = h / p. Следовательно,

490