Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

2)модуль ºr ;

3)направление радиуса-вектора в пространстве, определяемое двумя независимыми углами.

Используя векторы единичной длины, сонаправленные с осями

Для случая, изображенного на рис. 1.2, можно записать:

rx = x ; ry = y ; rz = z .

Координатный способ. Положение материальной точки М задается с помощью координат x, y, z и записывается в виде М(x, y, z).

З а м е ч а н и е . Минимальное число независимых параметров, которое полностью определяет положение физической системы в пространстве, называется числом ее степеней свободы. Можно сказать, что материальная точка имеет три степени свободы.

1.2. Понятие траектории. Кинематический закон движения материальной точки.

Вектор перемещения. Путь

Линия, которую описывает движущаяся точка в пространстве, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Рассмотрим равномерное движение точки по радиусу равномерно вращающегося диска от центра к краю (рис. 1.3). Отно-

сительно системы координат (X ′, Y ′, Z ′) , связанной с вращающимся диском, траектория точки будет прямой линией. Относительно системы координат (X, Y, Z ), связанной с Землей, траектория точки будет спиралью Архимеда.

X

Рис. 1. 3

6

ческий закон ее движения имеет вид: ºr = ºr (t) , а при координатном способе он может быть записан в виде:

x = x(t);

y = y(t); (1.2)

z = z(t).

Если из соотношений (1.2) исключить время t, то получим уравнение, которое будет описывать траекторию материальной точки.

Рассмотрим движение точки по траектории L (рис. 1.4). Пусть в момент времени t точка находилась в положении 1, определяемом

начального положения точки в конечное, называется вектором

перемещения равен изменению (или приращению) радиуса-вектора.

Расстояние между точками 1 и 2, измеренное вдоль траектории, называется путем S.

При стремлении t к нулю конечное приращение радиуса-век-

тора dºr .

Направление вектора dºr будет совпадать по направлению с еди-

ничным вектором ºτ , направленным по касательной к траектории в сторону движения точки.

7

1.3. Скорость. Нахождение пути. Ускорение

Разобьем траекторию L материальной точки на бесконечно малые участки длиной d L (рис. 1.5). Каждому участку траектории d L будет

соответствовать перемещение dºr . Разделим это перемещение на промежуток времени dt, за который материальная точка проходит

где точкой сверху обозначена производная по времени.

Так как вектор dºr направлен по касательной к траектории в сто-

º

рону движения точки, то и вектор мгновенной скорости v направлен туда же. С учетом выражения (1.1) вектор мгновенной скорости может быть представлен в виде

Таким образом, компоненты вектора скорости определяются как соответствующие производные:

Тогда модуль скорости может быть найден из выражения:

v 2 = vx2 + vy2 + vz2 .

Равномерным называется движение с постоянной по модулю

Определим путь, проходимый телом за время t при движении по произвольной траектории из положения 1 в положение 2 (рис. 1.6).

8

Разобьем траекторию на такие малые участки (в дальнейшем называемые элементарными), чтобы можно было считать скорость на этих участках неизменной. Тогда длина траектории i-го участка (путь) будет выражаться формулой

Li = vi ti ,

где vi — модуль скорости на i-м участке; ti — время его прохож-

дения.

Весь путь можно найти как сумму длин всех элементарных участков. При этом путь будет определен тем точнее, чем меньше рас-

Важной векторной кинематической величиной является ускорение — производная мгновенной скорости по времени, которое характеризует быстроту изменения вектора скорости:

В проекциях на оси координат получим следующие выражения:

1.4. Кинематический закон движения материальной точки с постоянным ускорением

Если вектор ускорения остается постоянным по модулю и направлению, то такое движение называется равнопеременным.

9

где ºr 0 — радиус-вектор, определяющий положение тела в момент

времени t = 0.

Использовав (1.2), запишем законы изменения координат тела:

z= z0 + v0zt + azt 2⁄ 2.

1.5.Нормальное и тангенциальное ускорения

Вобщем случае направление вектора ускорения тела неизвестно. Для его нахождения выберем в каждой точке траектории два единич-

º

ектории в сторону движения точки, а вектор n — по нормали в сторону вогнутости траектории (рис. 1.7). В конкретных задачах бывает

º

удобно рассматривать проекции вектора ускорения a на выбранные таким образом направления.

10