Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

X

x0

наты станет равна: x = v t = px0 t / m.

Теперь, воспользовавшись принципом неопределенности (30.7), получим:

электрон был локализован в области, имеющей размеры атома x0 = = 10– 10 м. Какова же будет неопределенность координаты через 1 с?

Итак, свободная частица, локализованная на размерах атома, за 1 с «расплывется» до расстояний 7000 км!

30.6.Статистический смысл волн де Бройля

В§ 30.5 мы выяснили, что волновой пакет, соответствующий частице, очень быстро расплывается. Возникает вопрос: как интерпретировать волну де Бройля?

Когда квантовая механика только создавалась, существовали различные интерпретации волны де Бройля. В частности, считалось, что частицы представляют собой суперпозицию волн, а интенсивность волн пропорциональна плотности среды, из которой образована частица.

491

Пример 30.9. Вернемся к расчету, выполненному в примере 30.8. Мы видели, что за одну секунду частица «расплывается» до расстояний 7000 км. Если бы интенсивность волны зависела от плотности частицы, то мы могли бы одновременно найти часть электрона в Москве и часть, скажем, в Лондоне. Но это противоречит опыту, который свидетельствует о том, что электрон неделим, т.е. мы можем обнаружить только целый электрон, но никак не его часть. Следовательно, такая интерпретация волн де Бройля нас не устраивает.

В § 30.5 мы рассмотрели интерференцию электронов на двух щелях (рис. 30.9, 30.10). Для характеристики интерференции мы ввели плотность вероятности обнаружения электрона в той или иной области экрана. Итак, свяжем волну де Бройля с плотностью вероятности обнаружения частицы. Для этого сравним наш опыт по интерференции электронов с аналогичным опытом по интерференции света. В этом случае рассматривают интенсивность света, а не плотность вероятности. Выведем формулу для интенсивности при интерференции света от двух когерентных источников.

Рассмотрим две плоские волны, разность фаз которых Δϕ:

Воспользуемся формулой Эйлера

eix = cos x + i sin x.

Теперь вместо формул (30.16) будем писать:

где A — коэффициент пропорциональности.

Используя формулы (30.17) и (30.18), находим интенсивность света при интерференции:

492

Отсюда

I = I1 + I2 + 2I1I2 cos( ϕ) .

Аналогичная ситуация возникает при интерференции электронов, но вместо интенсивности мы рассматриваем плотности вероятности.

Таким образом, плотность вероятности обнаружить частицу в той или иной области пространства связана с волновой функцией. По

аналогии с оптикой для плотности вероятности получим ρ = |ψ|2, где ψ — волновая функция частицы. Тогда вероятность обнаружить частицу в объеме V можно найти по формуле:

Предположим, что частица не взаимодействует с окружением. Тогда, по аналогии с формулами (30.17) будем иметь:

Эта формула соответствует бесконечной монохроматической волне де Бройля. Для волнового пакета соответственно получим:

Для определение константы С воспользуемся следующим свойством вероятности.

Обнаружение частицы в любой точке пространства есть достовер-

Условие (30.21) называется условием нормировки.

Подставляя сюда волновую функцию для монохроматической волны (30.21), получаем:

P = ∫ C 2dV = C 2∫dV = 1 .

Отсюда C = 1⁄ V , где V — объем, стремящийся к бесконечности.

30.7.Некоторые задачи квантовой механики

Вклассической механике элементарная частица рассматривается как материальная точка, в каждый момент времени находящаяся

в определенной точке пространства, задаваемой вектором ºr (t) . В квантовой механике понятие «частица находится в точке про-

493

странства М» заменяется понятием: «с вероятностью P частица находится где-то внутри данного объема пространства V». Задачей квантовой механики является вычисление этой вероятности, которое можно сделать с помощью волновой функции частицы Ψ(x, y, z, t ) по формуле

P = ∫ Ψ Ψ*dV .

V

Здесь Ψ* — функция, комплексно сопряженная с Ψ, так как в общем случае волновая функция является функцией комплексного

переменного. Величина Ψ Ψ* = dP/dV называется плотностью вероятности распределения положений частицы в пространстве. Найти волновою функцию частицы можно, решив основное уравнение квантовой механики — уравнение Шредингера, имеющее вид:

где Ψ( ºr , t) — искомая волновая функция частицы U( ºr , t) — потенциальная энергия частицы.

В виду сложности данного уравнения далее мы рассмотрим ситуацию, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени

явно (U = U( ºr ) ), а частица может двигаться только по одной прямой (оси X). В этом случае уравнение Шредингера примет вид:

В этом уравнении «новая» волновая функция ψ связана со «ста-

называют стационарным (ψ не зависит от времени) уравнением Шредингера для одномерного движения частицы. Здесь Е — полная

x2

энергия частицы. Величина P = ∫ ψψ*dx есть вероятность того, что

x1

частица находится на отрезке [х1, х2] прямой X. Отметим, что функ-

ции — решения данного дифференциального уравнения — должны быть непрерывны вместе со своими первыми производными: ψ и dψ/dx — непрерывными функциями координаты х. Из этого обстоятельства в ряде задач возникает дискретность или непрерывность уровней энер-

494

гии частицы Е. Разберем несколько простейших одномерных задач квантовой механики:

1)частица находится в простейшей потенциальной яме;

2)частица движется в направлении прямоугольного потенциального барьера;

3)частица является гармоническим осциллятором, т.е. находится

вполе упругой силы, пропорциональной смещению частицы от положения равновесия.

Пример 30.10. Одномерная «потенциальная яма».

П о с т а н о в к а з а д а ч и . Зависимость потенциальной энергии частицы от координаты х имеет вид U(x) = 0, если | x | ≥ a и U(x) = – |U0|,

если | x | ≤ a. График этой функции, приведенный на рис. 30.12, и называется «потенциальной ямой». Необходимо определить характер движения частицы в зависимости от ее полной энергии.

К л а с с и ч е с к о е р е ш е н и е . Если полная энергия частицы Е заключена в интервале U0 < E < 0, то частица будет двигаться внутри

ямы, не покидая ее. Если полная энергия частицы Е > 0, то частица может находиться в любой области оси X. При этом энергетический спектр (область значений полной энергии Е ) непрерывен.

К в а н т о в о е р е ш е н и е .

1) U0 < E < 0. Внутри «ямы» уравнение Шредингера имеет вид

где k = 2m(E – U0 ) ⁄ $2 . Вне «ямы» имеем уравнение

где β = –2mE ⁄ $2 .

495