Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Рассмотрим асимптотики формулы Планка.

1. «Классический предел»: низкие частоты, высокие темпера-

что совпадает с формулой Рэлея — Джинса (29.4). Таким образом, пределы применимости классической физики (по крайней мере, для осциллятора) установлены.

2. «Квантовый предел»: высокие частоты, низкие температуры ($ω >> kT ). Единицей по сравнению с экспонентой в знаменателе (29.10) можно пренебречь, и, соответственно, получаем:

К выражению вида (29.12) еще в 1896 г. на основе некоторых произвольных допущений пришел Вильгельм Вин, поэтому его называют формулой Вина. При ω → × убывающая экспонента «заби-

вает» возрастающую степенную функцию ω3, что обеспечивает сходимость интеграла по частотам (29.1), и, соответственно, снимается проблема «ультрафиолетовой катастрофы».

Теперь рассмотрим случай промежуточных частот, при которых наблюдается переход от возрастания к убыванию — максимум функ-

ции rω* . Относительно положения этого максимума можно сделать

определенные выводы на основании вида функции (29.10). Перепишем (29.10) в эквивалентном виде:

где y = $ω/ kT.

При фиксированной температуре форма кривой определяется

только вторым сомножителем в (29.13): f (y) = у3/(e y – 1). Функция f (y) одинакова для всех температур. Обозначим значение у, при котором

466

f (y) имеет максимум, как уm. Но тогда, возвращаясь к старым обозначениям, ym = $ωm / kT, или:

где ωm — частота, при которой rω* имеет максимум.

Выражение (29.14) называется законом смещения Вина, а постоянная b′ — постоянной Вина. Из (29.14) непосредственно следует:

чем выше температура, тем на более высоких частотах наблюдается максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела (см. рис. 29.1). Значение константы в (29.14) можно получить стандартным способом отыскания экстремума (приравниванием нулю производной f (y) по у). Прямые вычисления дают b′ = 3,694 · 1011 с– 1 · К– 1.

Найдем энергетическую светимость абсолютно черного тела R* в соответствии с ее определением (29.1):

Интеграл в последнем равенстве, в соответствии с таблицей опре-

деленных интегралов, равен π4 / 15. Таким образом, окончательно получаем:

В 1879 г. Стефан установил его эмпирически, а Больцман пять лет спустя обосновал его теоретически из термодинамических сообра-

жений. Постоянная σ равна 5,6696 · 10– 8 Вт / (м2æК4 ) и называется

постоянной Стефана — Больцмана. Итак: энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени температуры.

В экспериментальных работах по оптике вместо частоты ω обычно фигурирует длина волны λ. Сделаем необходимую замену переменной ω на переменную λ во всех важных формулах этой главы.

467

Прежде всего, введем спектральную плотность энергетической светимости учитывая, что rλ dλ — мощность, излучаемая единицей

поверхности стенки под всеми углами в интервале длин волн от λ до λ + dλ при температуре Т. Учитывая, что ω = 2πс/λ, имеем dω =

= (–2πс / λ2) dλ (знак «–» означает просто убывание длины волны при росте частоты). Теперь подставим ω и dω в rω* dω:

Кривые зависимости rλ*(λ) для двух различных температур пока-

заны на рис. 29.2.

Закон смещения Вина для длин волн установим тем же способом, что и для частот [см. (29.13), (29.14)]:

Так же, как и в (29.13), форма кривой определяется вторым сомножителем с у, это опять кривая с максимумом. Пусть максимум соответствует уm. Но тогда длина волны λm, соответствующая макси-

муму, удовлетворяет соотношению

где b — постоянная Вина (ее не следует путать с введенной выше постоянной Вина b′ для частот). Отыскание экстремума второго сом-

468

rλ*

T2>T1

T1

Рис. 29. 2

ножителя стандартным методом дает уm = 4,965, и последующая подстановка уm в (29.17) дает b = 2,898 · 10– 3 мæК.

Закон Стефана — Больцмана, разумеется, имеет один и тот же вид вне зависимости от того, по какой переменной (ω или λ) производится интегрирование r*. Действительно, согласно (29.16) имеем:

0× 0

Пример 29.3. Оценка температуры поверхности Солнца. Вид спектра излучения Солнца, измеренный на поверхности Земли, близок к кривой Планка (если пренебречь «фраунгоферовыми линиями»), поэтому Солнце можно приближенно считать абсолютно черным телом или, по крайней мере, серым. Максимум спектральной плотности излучения приходится на λm ≈ 550 нм (этой же длине

волны соответствует максимум чувствительности человеческого глаза). Подстановка в закон смещения Вина (29.18) дает Т ≈ 5300 К. Учет поправки на искажение спектра из-за прохождения света через земную атмосферу дает значение Т ≈ 6000 К. Разумеется, в недрах Солнца температура намного выше, но ее можно лишь рассчитать, исходя из конкретной модели процессов внутри Солнца. Согласно этим расчетам температура в центре Солнца достигает 15 млн градусов.

Пример 29.4. Пирометры — это приборы для определения температуры нагретых тел на основании их теплового излучения. Один из самых распространенных пирометров — «пирометр с исчезающей нитью». Прибор устроен так, что на изображение в зрительной трубе

469

исследуемого тела накладывается нить специальной лампы накаливания (нить помещают в фокальной плоскости объектива). В цепь лампы включают реостат, позволяющий регулировать накал нити таким образом, чтобы она исчезала на фоне тела, температура которого измеряется. По силе тока в цепи лампы определяется температура нити, а следовательно, и температура (принято говорить яркостная температура) тела. Основная трудность для точного определения температуры связана с правильным учетом поправок на «нечерноту» исследуемого тела.

Пример 29.5. Реликтовое излучение. Согласно современным представлениям наша Вселенная образовалась примерно 14 (по последним данным — 13,73) млрд лет назад в результате Большого взрыва. Одним из аргументов в пользу этих представлений является открытие так называемого реликтового (от лат. relictus — оставленный), или фонового излучения. В 1964 г. двое американских ученых Арно Пензиас и Роберт Уилсон изучали какие-то досаждавшие им источники радиоволн, создававшие помехи для связи. В своей работе они применили чувствительную антенну и с ее помощью обнаружили, что радиошум совершенно не зависит от времени суток или направления в небе. Последовавшее затем изучение спектра «помех» показало соответствие формы кривой расчетам спектра по формуле Планка для сверхнизких температур. Недавно (Нобелевская премия по физике за 2006 г.) с помощью прецизионного спутникового оборудования температура реликтового излучения была найдена с фантастической точностью: она оказалась равной 2,725 К. Итак, излучение от Большого взрыва, претерпев сильное адиабатическое охлаждение по мере расширения Вселенной, все еще присутствует в нашем мире.

В заключение подведем итог тому, что мы узнали о равновесном тепловом излучении как таковом. Равновесное тепловое излучение одинаково во всех точках и по всем направлениям (говорят: однородно и изотропно), не поляризовано и имеет непрерывный спектр, определяемый формулой Планка (29.10) (или эквивалентной ей формулой (29.17)).

Далее, можно показать (доказательство мы опускаем), что формуле Планка соответствует объемная плотность энергии wω излуче-

ния, приходящегося на частотный интервал от ω до ω + dω, определяемая соотношением wω = 4rω* /c, откуда

470