Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

(космический вакуум тоже можно считать средой — ведь он заполнен излучением) ниже температуры светящегося тела. В этом случае закон Кирхгофа тоже можно применять: нагретые тела в неравновесной системе излучают точно так же, как и в равновесии. Приведем несколько простых примеров.

Пример 29.1. Все знают, что свечка светит ярче газовой горелки, хотя горение происходит примерно при одной и той же температуре, а горелка часто мощнее свечки. Дело в том, что газ горелки является слабо поглощающей средой и согласно закону Кирхгофа должен слабо излучать. А вот среди продуктов сгорания свечки много мелких черных частичек углерода (говорят, что «свечка коптит»). Именно этим черным частичкам мы обязаны не только за копоть, но и за яркость.

Пример 29.2. Еще один известный опыт (такой опыт легко проделать каждому) состоит в том, что в пламя костра вносят черепок расписанного фарфора с темным рисунком на белом фоне, а затем раскаленный черепок вынимают обратно. При этом хорошо видно, что темный рисунок светится, а фон, наоборот, выглядит черным (это похоже на негативный снимок). Вытащить черепок из костра необходимо для большей «неравновесности»: в пламени костра (тем более в закрытой печке) малое излучение белого фона будет компенсироваться сильным отражением излучения печки и рисунок станет почти незаметным.

С точки зрения фундаментальной науки наиболее важной задачей является определение функции rω* — ведь именно она определяет равновесное распределение излучения как такового по частотам.

Прежде чем рассказать о попытках вычисления rω* на основе

классической физики, предпринятых рядом ученых в конце XIX в., попробуем «угадать» результат из соображений размерности. Вели-

чина rω* dω по определению имеет размерность Вт/м2, следова-

тельно, сама rω* имеет размерность Дж/м2 — энергия, отнесенная к

площади. Конечная формула не должна содержать никаких постоянных, которые относятся к природе и размерам тел, но при этом должна отражать зависимость rω* от температуры. Поэтому в каче-

стве энергии естественно выбрать величину, пропорциональную kT, а в качестве единственного масштаба длины — длину волны света λ. Тогда

461

Любопытно, что формула (29.4) в точности совпадает с результатом сложных расчетов на основе классической физики (мы еще и немного «сжульничали» для этого совпадения: «честная» замена переменной λ на переменную ω делается немного сложнее — см. вывод формулы (29.16) ниже).

Один из классических расчетов r*ω был выполнен в 1897 г. немец-

ким ученым Максом Планком. Суть работы Планка состояла в следующем. Так как закон Кирхгофа (29.3) универсален для тел любой природы, то в качестве тела, находящегося в равновесии с излучением, можно взять простейшее для расчетов — одномерный гармонический осциллятор (тот самый «заряд на пружинке», который фигурирует в классической элементарной теории дисперсии). Затем можно рассчитать для него величины rω и аω, после чего по формуле

(29.3) найти rω*. Вопрос о том, «что считать площадью поверхности

осциллятора» не является непреодолимым: эта «площадь» (принято говорить «сечение поглощения») получается как частное от деления мощности, поглощаемой осциллятором, на мощность излучения, падающего на единицу площади плоской поверхности. Проделав прямые, но несколько громоздкие выкладки, которые мы здесь не приводим, Планк пришел к выражению:

осциллятора. Согласно классической физике W = kT (в среднем —

которую принято называть формулой Рэлея — Джинса (Рэлей и Джинс получили эту формулу одновременно с Планком, но другим способом). Формула Рэлея — Джинса хорошо согласуется с экспериментом на низких частотах, однако на высоких частотах противоречит эксперименту, да и вообще, очевидно, абсурдна. Функция r*ω

монотонно возрастает с частотой, а значит, площадь под ее графиком бесконечна (интеграл (29.1) расходится), т.е. абсолютно черное тело при любой конечной температуре излучает бесконечную мощность. Пауль Эренфест позднее дал этой расходимости выразительное название «ультрафиолетовая катастрофа», и оно прижилось.

462

29.2. Формула Планка

Для разрешения проблемы «ультрафиолетовой катастрофы» в 1900 г. Планк выдвинул гипотезу: энергия W осциллятора может принимать не произвольные, как это следует из классической теории колебаний, а лишь дискретные (лат. discretus — прерывистый) значения, кратные его собственной частоте ω0: W = 0, $ω0, 2$ω0,

3$ω0, …, где $ — некий коэффициент (исторически Планк ввел

немного другую константу — h ≡ 2π$, обозначение с горизонтальной чертой для h / 2π принадлежит Полю Дираку; сейчас обе постоянные носят имя Планка). Гипотеза Планка оказалась гениальной — она полностью подтвердилась в 20-е годы ХХ в., когда была создана квантовая механика.

Почему же экспериментаторы раньше никогда не сталкивались с дискретностью значений энергии осциллятора? Ответ прост: постоянная Планка и частоты макроскопических осцилляторов слишком

малы ($ = 1,055æ10– 34 Джæс) для того, чтобы самыми точными приборами зафиксировать дискретность уровней энергии.

Чтобы понять теорию Планка, прежде всего вспомним, как вычисляется среднее значение («математическое ожидание») в теории вероятностей. Пусть величина А может принимать значения А0,

А1, А2, …, Аn с вероятностями соответственно P0, P1, P2, …, Pn (очевидно, что P0 + P1 + P2 + … + Pn = 1 — условие нормировки). Тогда <A> = А0 P0 + А1 P1 + А2 P2 + … + Аn Pn.

Для расчета средней энергии «дискретного» осциллятора Планк использовал вероятности, даваемые классической статистикой Макс- велла—Больцмана: вероятность того, что система в термодинамиче-

ском равновесии имеет энергию W, пропорциональна e– W / kT, т.е.

где Z — коэффициент, определяемый из условия нормировки:

n = 0

(Начиная с последнего равенства (29.7) и далее мы будем опускать индекс «0» у собственной частоты осциллятора, так как осциллятор с произвольной собственной частотой должен находиться в

463

термодинамическом равновесии с излучением.) Окончательно получаем:

n = 0

Существует несколько способов вычисления подобных выражений. Один из простейших состоит в непосредственном делении «столбиком» многочленов из числителя и знаменателя — результат оказывается обычной убывающей (x < 1) геометрической прогрессией:

_ x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + … 1 + x + x2 + x3 + x4 + …

_ x3 + 2x4 + 3x5 + …

x3 + x4 + x5 + …

x4 + 2x5 + …

……………

464

Значит

(Последнее равенство легко получить, заметив, что если S = х + х2 + + х3 + … = х + х (х + х2 + х3 +…) = x + xS, то S = x / (1 – x). Можно, разумеется, и сразу воспользоваться известной формулой суммы прогрессии.) Возвращаясь к старым обозначениям, окончательно получаем:

Теперь осталось подставить выражение (29.9) для средней энергии одномерного осциллятора в (29.5). Это и есть формула Планка:

e kT – 1

Графики rω* , для двух разных фиксированных температур приве-

дены на рис. 29.1. Формула Планка хорошо согласуется с экспериментальными данными.

rω*

T2>T1

T1

Рис. 29. 1

465