Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

шать волн (говорят: «короткие сигналы имеют широкий спектр частот»). В среде с дисперсией волны разной частоты из группы будут распространяться с разными скоростями, а сам сигнал, соответственно, по мере распространения, — менять форму. Поэтому требуется уточнить само понятие «скорость сигнала». Фундаментальные исследования на эту тему были проведены английским физиком Рэлеем.

В качестве характеристики скорости распространения группы волн, вслед за Рэлеем, вводят так называемую групповую скорость (будем обозначать ее u), которая по определению равна u = dω/dk.

Поясним смысл понятия групповой скорости на простейшем примере «группы» из двух волн с очень близкими частотами (ω и ω + dω) и равными амплитудами А. Пусть частоте ω соответствует волновое число k, а частоте ω + dω — волновое число k + dk. Для сложения волн воспользуемся известной формулой тригонометрии

α β α + β α – β

cos + cos = 2 cos ------------- cos ------------- , четностью косинуса и мало-

22

стью dω и dk. Итак, мы имеем:

A cos (ωt – kx) + A cos [(ω + dω)t – (k + dk)x] =

В последнем сомножителе полученного выражения мы узнаем обычную монохроматическую плоскую волну частотой ω, распространяющуюся с фазовой скоростью v = ω/ k. Предыдущие сомножители задают ее огибающую (или, как говорят, модуляцию (рис. 28.22)). Как видим, огибающая имеет низкую частоту dω/ 2 (частоту биений) и распространяется с групповой скоростью u = dω/ dk. Можно показать, что при слабой дисперсии энергия вспышки распространяется с групповой скоростью.

До сих пор мы описывали дисперсию, задавая частотную зависимость показателя преломления или диэлектрической проницаемости.

451

v

u

Рис. 28. 22

Часто бывает удобно (например, для расчета фазовой и групповой скоростей) перейти к другой форме записи — через зависимость частоты от волнового числа. Выражение вида ω = ω(k) будем называть законом дисперсии. Такая запись представляет собой просто замену переменных; поэтому, она эквивалентна привычной n = n(ω). Дей-

n(ω) задает взаимно однозначное соответствие между ω и k (при использовании комплексного показателя преломления на место n следует поставить его действительную часть n′ ).

При нормальной дисперсии групповая скорость всегда меньше фазовой. Действительно:

Нормальная дисперсия означает, что n растет (соответственно, v падает) с ростом частоты, dv / dω < 0, отсюда u < v.

При аномальной дисперсии («внутри» линии поглощения) dv/dω > 0 и формально имеет место u > v или даже, что бессмысленно, u < 0. Подробный анализ, однако, показывает (следует принять во внимание и сильное затухание, зависящее от частоты, меняющее спектральный состав волнового пакета), что физическая интерпретация

452

453

Групповая скорость с учетом (28.44)

Интересно, что когда фазовая скорость v (при ω = ωp) обращается

в бесконечность, групповая скорость u стремится к нулю. Графики v(ω) и u(ω) приведены на рис. 28.23.

28.8. Рассеяние света

Дифракцию света на мелких (невидимых глазу) хаотически расположенных неоднородностях среды обычно называют рассеянием. Рассеяние проявляет себя как свечение среды при прохождении через нее света от внешнего источника. Свечение связано с вторичными волнами, излучаемыми атомами среды за счет энергии первичного луча. В силу некогерентности вторичных волн наблюдению доступны лишь средние по времени значения интенсивности рассеянного света в различных направлениях. Иными словами, интенсивность рассеянного излучения в любой точке равна сумме интенсивностей излучений, пришедших от каждой неоднородности. Для теоретического описания явления используется математический аппарат теории вероятностей.

В зависимости от природы неоднородностей рассеяние можно разделить на два основных типа.

1.Рассеяние в чистых средах (молекулярное рассеяние). Если свет распространяется в среде, не содержащей микроскопических включений другого вещества, то единственным видом неоднородности выступают термодинамические флуктуации плотности. Молекулярное рассеяние объясняет, например, голубой цвет неба.

2.Рассеяние в мутных средах (диффузное рассеяние, явление Тиндаля). В этом случае неоднородностями являются микроскопические частицы инородного вещества (пыль, капельки жидкости в газе — облака, туман; твердые частички в жидкости, называемые взвесями и суспензиями; эмульсии — капельки одной жидкости в другой жидкости; инородные микроскопические включения в прозрачных твердых телах — перламутры, молочные стекла и т.п.). Как мы увидим, характер рассеяния в мутных средах существенно зависит от соотношения характерного размера l неоднородностей и длины волны света λ. При l << λ рассеивается преимущественно коротковолновая компонента падающего излучения; в обратном пределе интенсивность рассеяния примерно одинакова для всех длин волн.

Начнем с рассеяния в чистых средах. Простейшей для рассмотрения чистой средой является разреженный газ. В этом случае так же,

454

как это делалось в элементарной теории дисперсии (см. § 28.3), в качестве модели молекулы можно взять пружинный маятник (см. рис. 28.13). Падающая волна раскачивает заряд q, который излучает вторичные волны, амплитуда E0 которых пропорциональна

«запаздывающему» ускорению, т.е. квадрату частоты. Действительно, если смещение x заряда q при вынужденных колебаниях изменяется по гармоническому закону

x = x0 cos ωt,

то электрическое поле излученной волны

(Звездочка означает, что соответствующие величины следует брать с задержкой на время распространения сигнала в точку наблюдения). Интенсивность света, излученного молекулой, в свою очередь, пропорциональна квадрату амплитуды волны, откуда получаем закон Рэлея:

I~ ω4.

Ввидимом диапазоне частоты красного и синего (фиолетового) излучений различаются почти в 2 раза, откуда можно сделать вывод, что интенсивность синей компоненты в излучении одной молекулы примерно в 16 раз превышает интенсивность красной компоненты.

Излучение, рассеянное средой, представляет собой результат интерференции волн, излученных всеми молекулами вещества. Если на масштабах малых по сравнению с длиной волны света можно говорить об однородном распределении молекул, то такая интерференция, как известно, может привести лишь к изменению фазовой скорости волны, но не к изменению ее направления распространения («боковые» лучи, интерферируя, погасят один другой); рассеяния наблюдаться не будет. В реальности же, согласно термодинамике, число молекул в указанных объемах не постоянно (испытывает флуктуации), поэтому газовая среда является оптически неоднородной. В 1908 г. М. Смолуховский теоретически обосновал, что рассеяние в газовой среде вызвано именно термодинамическими флуктуациями плотности газа.

При нахождении вещества в критическом состоянии даже тонкий его слой рассеивает все падающее на него излучение. Дело в том, что критическое состояние соответствует максимально возможным флуктуациям плотности. Рассеяние света в этом случае называют

критической опалесценцией.

Теорию Солуховского называют также «теорией голубого цвета неба». Дневное небо испускает свет приблизительно равномерно во все стороны (светится) благодаря флуктуациям плотности воздуха,

455