Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

v0 = qE0 / (mγ);

Учитывая, что величина γ, стоящая в знаменателе выражения v0,

мала, заключаем, что в области частот, близких к резонансной, должно иметь место сильное поглощение света. Указанное поглощение действительно наблюдается экспериментально, а соответствующий интервал частот (его ширина ω ~ γ) вследствие его узости называется линией поглощения.

Если в разреженном газе имеется несколько сортов атомов с различными резонансными частотами ω0i (и различными постоянными

затухания γi ) , то изложенную теорию легко модифицировать: следует ввести относительные концентрации fi ≡ n0i/n0 каждого сорта

атомов i (очевидно ∑ fi = 1 ). Тогда, в силу отсутствия взаимодействия между атомами, выражение (28.33) примет вид:

γi << ω20i – ω2 .

Примерный вид кривой n(ω), соответствующей формуле (28.37), показан на рис. 28.15. Cмесь атомов будет иметь несколько линий поглощения шириной порядка γi на частотах ω0 i .

С развитием физики выяснилось, что каждый атом имеет несколько линий поглощения, причем частоты ω0i уникальны для

n

Рис. 28. 15

441

каждого химического элемента. Частоты ω0i лучше называть не

«резонансными», а просто частотами поглощения элемента. Величины же fi называют не «долей атомов в смеси», а силами осцилляторов: они

показывают относительное участие этих «осцилляторов» в дисперсии. Отметим, что изучая спектр поглощения неизвестного газообразного вещества, можно судить об элементном составе последнего.

При распространении плоской волны в однородной поглощающей среде интенсивность света I уменьшается по экспоненциальному закону. Причина в том, что потери мощности световой волны при взаимодействии с атомом среды пропорциональны интенсивности волны. Это видно, например, из формулы (28.36) для мгновенной мощности N, отдаваемой в резонансе. Запишем (28.36) в эквивалентном виде:

Кроме того, потери мощности в слое вещества толщиной dz, расположенном перпендикулярно волновому вектору, пропорциональны числу атомов в слое, т.е. толщине dz. Обозначив общий коэффициент пропорциональности через α, получим уравнение dI = = – α I dz, интегрирование которого приводит к выражению

где I0 —интенсивность света на входе в поглощающий слой; z —

толщина слоя; I — интенсивность на выходе из слоя. Коэффициент α называют коэффициентом затухания волны, он зависит от частоты. Соотношение (28.38) носит название закона Бугера.

Как отмечалось выше, связь P = χE не дает полного описания поведения P(t) при заданном E(t). Полное описание опирается на метод комплексных экспонент при использовании комплексной восприимчивости. Данный метод часто применяется в физике, например, при описании цепей переменного тока, содержащих индуктивности и емкости. Кратко суть метода в следующем. Вместо записи

cos ωt пишут eiωt, подразумевая действительную часть последнего выражения. Доумножение экспоненты eiωt на любое комплексное число Z = a + ib приводит к изменению амплитуды и фазы. Дей-

ствительно, по формуле Эйлера Zeiωt = Z0eiϕ eiωt = Z0ei(ωt + ϕ), где Z0 = (a2+b2)1 / 2, ϕ = arctg (b / a).

442

Применим метод комплексных экспонент к решению уравнения (28.30). Запишем электрическое поле волны и поляризацию среды

соответственно как E = E0eiωt и P = P0eiωt и подставим в (28.30). Тогда вместо (28.31) будем иметь:

Легко видеть, что вдали от резонанса (|ω – ω0| >> γ) действитель-

ная часть χ′совпадает с нашим выражением (28.32) для χ; в точке резонанса χ′(ω0) = 0, а график χ′(ω) имеет вид, представленный на

рис. 28.16, а. В то же время график |χ''(ω)| имеет вид кривой поглощения (рис. 28.16, б).

Интересно отметить, что выражения для χ′ и χ′′ строятся из одних и тех же констант — ω0, ωp и γ, поэтому, зная выражение для

χ′, можно однозначно восстановить χ′′, и наоборот. Можно доказать, что этот факт не является особенностью конкретной модели среды, а опирается на фундаментальный принцип причинности. Дисперсия и поглощение волн в среде всегда связаны между собой.

При использовании комплексной восприимчивости комплексными оказываются также диэлектрическая проницаемость ε = (1 + χ′) +

443

(для удобства принято писать знак «–» перед in′′, чтобы показатель n′′ получался положительным). Физический смысл n′ и n′′ легко понять, записав уравнение плоской волны в виде комплексной экспоненты:

E = E0eiω(t – z/v ) (монохроматическая волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси z). Так как v по определению с / n, то

E0eiω(t – z/v ) = E0eiω(t – zn/c) = E0e– ωn′′z/ceiω(t – zn′/c). (28.41)

Мы видим, что амплитуда волны экспоненциально убывает с ростом z. Учитывая, что интенсивность I пропорциональна квадрату

амплитуды, получаем известный нам закон Бугера: I = I0e–αz, где

коэффициент затухания α = 2ωn′′/c. Кроме того, при распространении света в среде его фазовая скорость v уменьшается в n' раз.

28.5. Волны в веществе как результат интерференции первичной и вторичных волн

Согласно полученным результатам, скорость света (как мы увидим ниже, лучше говорить: «фазовая скорость») может принимать значения как меньше, так и больше фундаментальной константы c. Это может вызвать недоумение и вопросы. Например. Как v > c согласуется с теорией относительности, согласно которой скорость c — максимальная из возможных в природе? Можно ли все-таки передавать сверхсветовые сигналы? Более детальное, чем это было сделано выше, рассмотрение явления дисперсии приводит к выводам, позволяющим ответить на подобные вопросы. Суть выводов в следующем.

1. Исходная («первичная») световая волна, проходя через среду, «раскачивает» атомы, заставляя их излучать (излучающие атомы назовем вторичными источниками).

444

2.Волна, распространяющаяся в среде, есть результат интерференции исходной волны и волн от вторичных источников.

3.И первичная, и вторичные волны распространяются с одной и той же фундаментальной скоростью с.

4.Результат интерференции первичной и вторичных волн может как отставать по фазе от фазы первичной волны, так и опережать ее (в первом случае говорят, что n > 1, во втором — что n < 1).

Перечисленные выводы снимают вопросы о противоречии теории дисперсии и теории относительности и о возможности передачи сверхсветовых сигналов, поэтому стоит остановиться на них подробнее.

Сама по себе задача об интерференции первичной и вторичных волн чрезвычайно сложна (кроме поля «первичной» волны на атомы среды воздействуют вторичные волны «соседей»). Тем не менее сам механизм «замедления» или «ускорения» света средой можно прояснить из простой модели, которую мы сейчас рассмотрим.

Пусть на пути первичной волны (перпендикулярно направлению ее распространения) расположен тонкий плоский слой атомов, причем атомы распределены в плоскости равномерно и достаточно плотно (рис. 28.17). Тогда результат интерференции волн от вторичных источников в точке P за экраном можно найти методом векторных амплитуд (спиралей Корню), как это обычно делается при рассмотрении дифракции Френеля. В отличие от дифракции Френеля, «наши» источники являются не мнимыми, а реальными, излучающими по законам электродинамики. Согласно последним, излучение заряда происходит в противофазе с его ускорением a. Для нашей модели гармонических колебаний заряда на пружинке имеем (будем

··

отслеживать только фазу колебаний): – a = – x x p P . Согласно (28.32) χ > 0 для ω < ω0 и χ < 0 для ω > ω0, что означает, что при ω < < ω0 излучение происходит в одной фазе с первичной волной, а при

S P

Рис. 28. 17

445