Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Пример 28.7. Кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, имеет толщину 0,25 мм и служит пластинкой в четверть волны для монохроматической световой волны (λ = = 0,53 мкм). Для каких еще длин волн в области видимого спектра она будет также пластинкой в четверть волны? Разность показателей преломления необыкновенного и обыкновенного лучей в интервале длин волн области видимого спектра ne – no = 0,0090.

Для пластинки в четверть волны справедливо соотношение (см. (28.25)):

(nе – nо ) d = mλ + λ / 4, где m = 0, 1, 2, …, откуда:

Такое значение m1 = 4 соответствует длине волны λ1 = 0,53 мкм, принадлежащей видимому диапазону длин волн 0,40—0,75 мкм.

Для поиска других длин волн этого же диапазона в формулу (28.25), записанную в виде

λ(ne – no)d

=-------------------------- , m + 1 ⁄ 4

подставим соседние с m1 = 4 значения m2 = 3 и m3 = 5. Им отвечают соответственно значения длин волн λ2 = 0,43 мкм и λ3 = 0,69 мкм. Понятно, что для длин волн λ2 и λ3 рассматриваемая пластинка является пластинкой в четверть волны.

28.3. Дисперсия

Явление дисперсии заключается в различии значений показателя преломления вещества для различных длин волн. Например, в классическом опыте по преломлению солнечных лучей в стеклянной призме лучи разных цветов (длин волн) из-за дисперсии стекла преломляются на разные углы.

В подавляющем большинстве экспериментов показатель преломления растет с ростом частоты (или, что то же самое, падает с ростом длины волны). Такое поведение показателя преломления называется нормальной дисперсией. Например, в опыте с призмой мы наблюдаем нормальную дисперсию. В более тонких экспериментах в очень узких интервалах частот, соответствующих так называемым линиям поглощения, можно наблюдать и аномальную дисперсию, т.е. уменьшение показателя преломления с ростом частоты (увеличение с ростом длины волны).

436

Качественно понять причину дисперсии можно на основе простой классической модели, в которой атом вещества рассматривается как обычный пружинный маятник. Маленький шарик массой m и зарядом q закреплен на пружинке жесткостью k (рис. 28.13). Под действием переменного электрического поля световой волны E шарик совершает вынужденные колебания с частотой волны ω. Кроме электрической силы, на шарик действует сила трения Fтр пропорцио-

нальная скорости шарика v, так что Fтр = – βv.

Модель отражает некоторые реальные свойства атома вещества. Дипольный момент атома p в данной модели принимается равным qx, и, таким образом, заряд q и смещение x отражают распределение заряда в атоме. Если дипольный момент атома пропорционален внешнему полю E, то это эквивалентно действию на заряд возвращающей упругой силы: Fупр = – kx. Далее, двигаясь с ускорением, заряд теряет

энергию на излучение, что в модели отражено введением силы трения («радиационное трение»). Феноменологический коэффициент трения β подбирается так, чтобы средние за период потери энергии на излучение реального атома соответствовали рассчитанным из модели. Наконец, если под веществом понимать сильно разреженный газ, то это позволяет не учитывать взаимодействие атома с «соседями», что значительно упрощает рассмотрение.

Перейдем к математическому описанию явления дисперсии. Рассмотрим плоскополяризованную монохроматическую волну, вектор

где ω20 = k ⁄ m , γ = β / m.

Рис. 28. 13

437

Умножая последнее уравнение на n0 q (n0 — концентрация ато-

мов) и учитывая, что поляризация среды (дипольный момент элемента объема) P = n0 p, получаем

Рассмотрим решения данного уравнения в предельных случаях. 1. Возьмем область частот ω, далеких от ω0. Коэффициент γ (он

имеет размерность частоты), определяющий «радиационное трение», очень мал (γ << ω0). Реально γ << |ω — ω0|, и, за исключением узкой

области резонанса, слагаемым с γ вообще можно пренебречь. Уравнение (28.30) примет вид

а его решение, как легко проверить, P = P0 cos ωt . Перегруппировывая сомножители, получаем

будет рассмотрен далее. Из (28.32) имеем (за исключением частот близких к ω0) для показателя преломления

γ << ω20 – ω2 .

438

При извлечении квадратного корня из уравнения (28.33) для получения n(ω) можно ограничиться линейным членом разложения Тейлора, так как значение ε(ω) для разреженных газов очень близко к единице:

γ<< ω20 – ω2 .

2.Вернемся к исходному уравнению (28.30) и рассмотрим случай

Как мы видим, колебания поляризации отстают по фазе от колебаний электрического поля на π/2 (разность фаз между sin ω0t и cos ω0t),

исвязь между P и E не может быть выражена соотношением P(t ) =

=χE(t ). Результат можно (хоть и не слишком убедительно) интерпретировать так: в резонансе поляризация не имеет составляющей,

изменяющейся во времени по закону изменения внешнего поля и, следовательно, при ω = ω0 следует положить χ = 0, ε = 1 и n = 1 (к этому

же «толкают» и соображения «физической непрерывности» при переходе χ(ω) через ω = ω0). Таким образом, вблизи резонансной

частоты мы получаем узкую (Δω ~ γ) область аномальной дисперсии. Следует подчеркнуть, что χ(ω0) = 0 не означает равенства нулю

амплитуды колебаний поляризации. Напротив, из-за малого значения γ в знаменателе (28.34) амплитуда этих колебаний именно в резонансе имеет резкий максимум. В этом определенный дефект излагаемой элементарной теории: соотношение P = χE не в полной мере выражает связь между P и E. Дефект устраняется при введении комплексной восприимчивости (см. ниже).

Графики n(ω) и n(λ) с учетом n(ω0) = 1 приведены на рис. 28.14 для удобства в несколько утрированном виде: область аномальной диспер-

439

сии показана преувеличенно широкой (как если бы γ ~ ω0). На самом

деле область аномальной дисперсии столь узка, что ее наблюдение представляет собой сложную экспериментальную задачу.

28.4. Поглощение света

Рассмотрим мощность N, теряемую световой волной при раскачивании заряда q. По определению мгновенной мощности N = Fv, в

нашем случае = · . Начнем опять с частот, далеких от резонанс-

N qEx

ной (|ω – ω0| << γ). Так как x = P/(n0q), то, используя (28.31), имеем

Таким образом, вдали от резонансной частоты рассеяния мощности световой волны не происходит, и среда является прозрачной.

всего выразить непосредственно из (28.29), с учетом того что при ω = ω0 первые два слагаемых сокращаются:

440