Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

расстоянии L = 1 м от отверстия. Длина волны λ = 600 нм (красный свет). Тогда радиус первой зоны Френеля

ρ1 = Lλ ≈ 0,77 мм.

Таким образом, в оптическом диапазоне вследствие малости длины волны размер зон Френеля оказывается достаточно малым. Дифракционные явления при описанной постановке эксперимента проявляются наиболее отчетливо, когда на препятствии укладывается лишь небольшое число зон:

где R — радиус отверстия. Если же формальный расчет по формуле (27.4) дает m <<1, дифракционные явления также наблюдаются.

Число m в (27.4) можно рассматривать, как критерий наблюдения дифракции. Обычно различают два вида дифракции. Если расчет по формуле (27.4) дает m ≥ 1 говорят о дифракции в сходящихся лучах, или дифракции Френеля. Если m << 1, то говорят о дифракции в параллельных лучах, или дифракции Фраунгофера.

Если число зон Френеля, укладывающихся на препятствии, становится очень большим, то дифракционные явления практически незаметны:

Это неравенство определяет границу применимости геометрической оптики. Узкий пучок света, который в геометрической оптике называется лучом, может быть сформирован только при этом усло-

(см. (27.3)). Таким образом, геометрическая оптика является предельным случаем волновой.

27.6. Дифракция Френеля

Дифракцию Френеля рассмотрим для сферических волн. Частный случай плоских волн получается, если расстояние до источника стремится к бесконечности. Сферическая волна получается, если точечный источник света находится на конечном расстоянии от препятствия (круглого отверстия), следовательно, на самом препятствии волновая поверхность представляет собой часть сферической поверхности. В отличие от рассмотренного ранее случая дифракции от удаленного источника геометрия задачи усложняется, так как зоны

386

Френеля теперь нужно строить не на плоской, а на сферической поверхности (рис. 27.21).

Расчет приводит к следующему выражению для радиуса m-й зоны Френеля (см. далее пример 27.1):

Все выводы изложенной выше теории Френеля остаются справедливыми и в этом случае.

Мы ограничимся рассмотрением двух случаев дифракции сферических волн: дифракции от круглого отверстия и дифракции от круглого диска.

а) Пусть отверстие для данной точки наблюдения открывает небольшое нечетное число зон Френеля, например три зоны (рис. 27.22).

б) Пусть отверстие для данной точки наблюдения открывает небольшое четное число зон Френеля, например, две зоны (рис. 27.23).

Точка наблюдения Р находится на перпендикуляре к плоскости отверстия в его центре. Отверстие вырезает на волновой поверхности сегмент.

Для трех зон результирующая амплитуда колебания в точке Р

Рис. 27. 21

387

Это значит, что в точке Р наблюдается максимум дифракционной картины — пятно получается светлым. Причем яркость этого пятна будет большей, чем в том случае, если бы препятствия не было вообще.

Для двух зон результирующая амплитуда колебаний в точке Р

(A1/2 – A2) можно заменить на –A2/2, так как амплитуды от двух соседних зон практически одинаковы

В точке Р наблюдается минимум дифракционной картины — пятно получается темным. В минимуме дифракционной картины яркость пятна получается меньшей, чем в том случае, если бы препятствие отсутствовало.

Таким образом, при перемещении вдоль перпендикуляра к плоскости отверстия глаз наблюдателя будет видеть чередование светлых и темных пятен. Причем освещенность этих пятен будет уменьшаться по мере приближения к отверстию. Так как чем ближе точка наблюдения находится к отверстию, тем больше для данной точки Р вырезается зон Френеля этим отверстием и тем меньше освещенность (яркость) в этой точке будет отличаться от той, которая была бы, если бы препятствия не было вообще (а это и есть случай геометрической оптики).

На экране, параллельном плоскости отверстия и проходящем через точку Р, будет наблюдаться дифракционная картина в виде чередующихся светлых и темных концентрических колец с темным

388

(m четное) или светлым (m нечетное) пятном в центре в зависимости от удаленности экрана от отверстия. Если отверстие открывает большое число зон Френеля, чередование светлых и темных колец наблюдается лишь в очень узкой области на границе геометрической тени; внутри этой области освещенность оказывается практически постоянной, не зависящей от размеров отверстия и расстояния до него, что соответствует приближению геометрической оптики.

Предположим, что точка наблюдения Р выбрана таким образом, что диск для нее закрывает на волновой поверхности одну зону Френеля (рис. 27.24). В этом случае результирующая амплитуда колебаний в точке Р будет определяться половиной амплитуды колебаний первой открытой зоны. А первой открытой зоной является вторая. Поэтому в точке Р наблюдается максимум дифракции с амплитудой Aрез = А2 / 2. Если диском закрыты две зоны Френеля, то по аналогии

с предшествующим Aрез = А3 / 2, и в точке Р вновь наблюдается максимум дифракции.

Таким образом, независимо от того, четное или нечетное число зон Френеля закрывается диском, на нормали к центру диска всегда будет присутствовать максимум дифракционной картины (светлое пятно). Оно носит название пятна Пуассона (С. Пуассон (1781—1840)). Интенсивность максимума убывает по мере приближения к диску, что условно показано на рис. 27.25 в виде уменьшающихся по размеру точек.

Вблизи диска на нормали образуется темное пятно. Это вызвано тем, что для близких к непрозрачному круглому диску точек Р диск закрывает большое число зон Френеля. Тогда первой открытой явля-

Рис. 27. 24

389

ется дальняя (с большим′ номером m) зона Френеля, а она посылает свет в точки наблюдения очень малой интенсивности, и все эти точки видятся темными.

На экране, расположенном перпендикулярно диску на достаточном удалении от него наблюдается картина, представленная на рис. 27.26. В центре этой картины наблюдается пятно Пуассона.

Пример 27.1. Точечный источник света S с длиной волны λ = 500 нм расположен на расстоянии а = 1 м перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом R = 1 мм. Найдите расстояние b от диафрагмы до точки наблюдения Р, для которой отверстие вырезает на волновой поверхности m = 3 зоны Френеля. Докажите, что площади всех зон Френеля одинаковы.

На рис. 27.27, а представлено отверстие в диафрагме, на которое падает свет от точечного источника S. Радиус отверстия R равен радиусу ρm последней, m-й зоны Френеля, укладывающейся на отверстии. Точка наблюдения Р находится справа от отверстия на расстоянии b. Рисунок 27.27, б демонстрирует результат разбиения волновой поверхности АОВ в пределах отверстия на три зоны Френеля с помощью вспомогательных сфер с радиусами, различающимися на λ / 2. Рассмотрим SAC и CAР на рис. 27.27, а. Из SAC имеем :

Рис. 27. 27

390