Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

вении волнового процесса. Следовательно, волна — это физический процесс распространения колебаний, т.е. передачи волнового возмущения из одной точки пространства в другую.

С точки зрения характера колебаний, передаваемых волной, все волны делятся на два основных класса: поперечные волны и продольные волны.

Волна является поперечной, если колебания физической величины, переносимые волной, происходят в плоскости, перпендикулярной направлению движения волны. Примером таких механических волн может быть волна, передающая вдоль шнура его колебания в направлении, перпендикулярном оси шнура.

Волна является продольной, если колебания физической величины, переносимые волной, происходят в плоскости, параллельной направлению движения волны. Пример продольных механических волн — звуковая волна в упругой среде, передающая флуктуации плотности вещества. Упругие колебания частиц вещества в областях повышенной плотности вещества совершаются в направлении движения звуковой волны.

Итак, назовем волновым возмущением S отклонение физической величины от равновесного состояния, передающееся волной в пространстве от одной точки в другую. Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространится волновое возмущение за время, равное периоду колебаний Т. Если волновое возмущение распространяется со скоростью v, то справедливы следующие соотношения:

Среди различных точек пространства, до которых дошло волновое возмущение, всегда найдутся такие точки, колебания в которых совпадают по фазе. Геометрическое место точек, колебательный процесс в которых происходит в одной фазе, образует волновую поверхность. По виду этой поверхности волны разделяют на плоские, сферические и т.д. Среди всех волновых поверхностей всегда существует самая внешняя (самая дальняя от источника волны), т.е. волновая поверхность, за которую волновое возмущение еще не распространилось. Эта

волновая поверхность называется фронтом

356

кости ZOY. Пусть фронт движется вдоль оси OX со скоростью v. Допустим, что источник волны располагается в начале координат. Тогда в этой точке совершаются колебания по закону

S (t) = A cos (ωt + α),

где A — амплитуда колебаний; ω — их частота. В точке, отстоящей от начала координат на расстояние x вдоль оси OX, колебания начнутся позже, чем в источнике. Задержка во времени составит t = = x/v. Следовательно, закон колебаний в этой точке примет вид:

Видно, что волновое возмущение в различных точках пространства зависит от времени, а в фиксированный момент времени различно в разных точках. Поэтому выражение (26.2) описывает не просто колебания, а волновой процесс. Соотношение (26.2) называется уравнением плоской волны, бегущей вдоль оси OX. Нетрудно получить, что для волны, бегущей против оси OX, уравнение имеет вид:

S (x, t) = A cos [ω(t + x/v) + α].

Выражение, служащее аргументом гармонической функции, называется фазой волны. Скорость распространения волнового фронта называется фазовой скоростью волны. Поскольку волновой фронт — совокупность точек с постоянной фазой, то для него ω(t –

– x/v) + α = const. Если выражение фазы волны продифференцировать по времени, то получим:

называется волновым числом.

Если сравнить соотношения ω = 2π/Т и k = 2π/λ, то можно сделать вывод, что λ — это «пространственный период» волны, а Т — «временной период». Если частота ω показывает число колебаний, которые совершаются за время 2π с, то волновое число показывает, сколько длин волн укладывается на длине 2π м. Между этими пара-

Из соотношения (26.3) видно, что если расстояние между двумя точками пространства равно λ, то фазы волны в этих точках одина-

357

Волновым уравнением называется дифференциальное уравнение, решением которого является уравнение волны. Если при анализе какого-либо физического процесса мы получим уравнение, по своей форме соответствующее волновому уравнению, значит исследуемый нами физический процесс имеет волновой характер.

Допустим, исследуется плоская волна, подчиняющаяся уравнению (26.3).

Найдем первые и вторые частные производные функции S(x, t) по времени и координате:

Из полученных соотношений следует, что

Если учесть выражение (26.5), то можно получить

358

В общем случае, если волна не плоская, а распространяется по всем направлениям прямоугольной системы координат, то уравнение (26.6) записывается в виде

Полученное соотношение (26.7) называется волновым уравнением. Его принято записывать в сокращенной форме, учитывая, что в левой части уравнения стоит оператор Лапласа:

26.3. Уравнение электромагнитной волны

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Максвелла и решим ее, получив законы изменения напряженностей магнитного и электрического полей. Для упрощения рассмотрим существование электрического и магнитного полей при отсутствии свободных заря-

359

Метод решения данной системы уравнений заключается в их объединении. Выберем четвертое уравнение системы и продифференцируем его по времени:

Поскольку смешанная производная не зависит от порядка переменных, по которым берутся производные, то

В правую часть уравнения подставим ∂Hz/∂t и ∂Hy/∂t, взяв их из третьего и второго уравнений системы (26.8):

Воспользуемся седьмым уравнением системы (26.8) и получим:

Это уравнение можно записать таким образом:

Аналогичные уравнения можно получить и для других проекций напряженности электрического поля:

360