Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Согласно теореме Стокса левая часть первого уравнения Максвелла равна потоку ротора вектора напряженности

LS

Приравнивая правые части первого уравнения Максвелла и теоремы Стокса, имеем:

Из равенства интегралов следует равенство подынтегральных выражений:

Уравнение (25.11) представляет собой первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

L

напряженности является необходимым и достаточным условием того, чтобы поле являлось потенциальным.

Приведем второе уравнение Максвелла (25.5)

к дифференциальной форме. Применяя теорему Стокса, получаем:

Выражение (25.12) представляет собой второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Уравнения Максвелла, записанные в дифференциальной форме, включают операторы дивергенции и операторы ротора векторного поля. Напомним, что оператор дивергенции представляет собой

351

сумму частных производных проекций вектора по соответствующим координатам:

º

Получим оператор ротора векторного поля A . Поскольку согласно формуле (25.9) ротор — векторная величина, то для его нахождения определим компоненты разложения этого вектора в декартовой системе координат:

Каждое из этих слагаемых — вектор, направленный по соответствующей координатной оси. Так как ротор направлен по нормали к площадке, то это означает, что соответствующие площадки для определения компонент ротора должны быть сориентированы перпендикулярно координатным осям (рис. 25.5). Важно помнить, что площадки, изображенные на рис. 25.5, проходят через ту точку пространства, в которой требуется найти ротор поля.

Определим первый компонент ротора из (25.13). Для этого необходимо рассмотреть ту из трех площадок, показанных на рис. 25.5, которая перпендикулярна оси ОX. Эта площадка расположена в плоскости ZOY (рис. 25.6).

º º

Поскольку вектор rot A x i на этом рисунке направлен из плос-

кости чертежа «на нас», то направление обхода контура, ограничивающего площадку, должно быть выбрано против часовой стрелки.

º

Тогда циркуляция вектора A по выбранному контуру

352

º

где каждое из слагаемых представляет циркуляцию вектора A по соответствующему элементу контура (они обозначены на рис. 25.6 цифрами 1, 2, 3, 4 ). Преобразуем полученное соотношение к виду

º º

A d l = [Az(y + dy) – Az(y)] dz – [Ay(z + dz) – Ay(z)] dy.

L

Для получения соответствующего компонента ротора согласно (25.9) необходимо разделить это выражение на площадь, т.е. на произведение dzdy:

В окончательном виде оператор ротора выглядит так:

25.5.Система уравнений Максвелла

вдифференциальной форме

Запишем систему четырех уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Эти уравнения, называемые полевыми, применимы для описания всех макроскопических явлений. При рассмотрении конкретной ситуации необходимо учесть электромагнитные свойства материаль-

353

ных сред. Свойства среды, учитываются с помощью еще трех уравнений, которые называются материальными:

Совокупность семи уравнений (25.15) и (25.16) образуют основу электродинамики покоящихся сред. Физический смысл уравнений Максвелла заключается в следующем. Уравнение (I) выражает закон электромагнитной индукции и указывает на изменяющееся магнитное поле как на один из возможных источников, порождающих электрическое поле. Вторым источником электрического поля являются электрические заряды. Они также порождают электрическое поле, что описывается уравнением (III), выражающим закон Кулона. Уравнение (II) выражает закон, по которому магнитное поле порождается токами проводимости и смещения, являющимися двумя возможными источниками магнитного поля. Уравнение (IV) означает, что нет магнитных зарядов, которые создавали бы магнитное поле подобно тому, как электрические заряды создают электрическое поле. Из уравнений Максвелла следует, что если возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электрическое поле, то в окружающем заряды пространстве возникают взаимные превращения электрического и магнитного полей одного в другое. Эта совокупность последовательно сменяющих друг друга в пространстве электрического и магнитного полей называется электромагнитным полем.

354

Г л а в а 26

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

В гл. 25 было выяснено, что переменное электрическое поле порождает магнитное поле, которое тоже оказывается переменным. Это переменное магнитное поле в свою очередь порождает электрическое поле. Если возбудить с помощью движущихся зарядов или переменного тока переменное электрическое или магнитное поле (электромагнитные колебания), то в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве, называются электромагнитной волной.

Вывод о существовании электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла. Из системы уравнений Максвелла получим дифференциальные уравнения, в левой и правой частях которых будут содержаться производные по времени и координатам только напряженности электрического или только напряженности магнитного поля. Эти уравнения называют волновыми уравнениями — их решениями являются уравнения электромагнитной волны. На основе анализа этих уравнений сформулируем свойства электромагнитных волн. Рассмотрим вопросы переноса энергии электромагнитной волной и особенности излучения электромагнитных волн электрическим диполем.

26.1. Волновой процесс. Уравнение волны

Ранее мы рассмотрели элементы теории электрических и механических колебаний. Были получены дифференциальные уравнения свободных, затухающих и вынужденных колебаний, а также их решения. Сравнение этих выражений показывает, что характер гармонического колебательного процесса и его причина никак не влияют на вид математического закона, описывающего отклонение колеблющейся величины от положения равновесия. Колебательные процессы в различных системах подчиняются одним и тем же закономерностям. Главное при рассмотрении колебаний — определить, что в какой-либо точке пространства происходит периодическое изменение рассматриваемой физической величины. Если отклонение параметра колебаний начинает передаваться в другие точки пространства, то говорят о возникно-

355