Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

вихревое электрическое, то не может ли изменяющееся во времени электрическое поле порождать вихревое магнитное поле?

Рассмотрим простейший случай изменения во времени однородного электрического поля в плоском конденсаторе, площадь обкладок которого S, а поверхностная плотность заряда обкладок σ (рис. 25.2).

Пусть в цепи существует квазистационарный электрический ток, направление которого показано на рис. 25.2. Сила тока в цепи равна производной заряда конденсатора по времени:

I = dq/dt.

Движение свободных носителей заряда, т.е. ток проводимости, имеет место во всей цепи, кроме зазора между обкладками конденсатора. Максвелл предположил, что линии тока проводимости непрерывно переходят на границе обкладок в линии тока, названного им током смещения. Плотность тока проводимости в непосредственной близости от поверхности обкладок определяется выражением

Таким образом, плотность тока проводимости равна скорости изменения поверхностной плотности заряда на обкладках конденсатора. В свою очередь поверхностная плотность свободного заряда σ равна проекции вектора электрического смещения на нормаль к поверхности, поэтому

dσ / dt = dDn / dt.

Силовые линии электрического поля в конденсаторе перпендикулярны его обкладкам, поэтому Dn = D; откуда следует

Слева от знака равенства записана плотность тока проводимости, справа — скорость изменения электрического смещения между обкладками конденсатора, там, где токи проводимости существовать не могут. Назовем скорость изменения электрического смещения dD / dt плотностью тока смещения. Придадим равенству (25.3) векторный смысл. При зарядке конденсатора его заряд возрастает, производная

346

лена так же, как вектор смещения. Вектор плотности тока смещения направлен в этом же направлении. Следовательно, направление вектора плотности тока смещения совпадает с направлением производной вектора электрического смещения:

Соотношение (25.4) показывает, что линии тока смещения «продолжают» линии тока проводимости между обкладками конденсатора. Линии тока смещения «замыкают» электрическую цепь (рис. 25.2).

Таким образом, переменное во времени электрическое поле можно уподобить некоторому току, а значит, оно должно создавать магнитное поле. Эксперимент подтвердил эту гипотезу Максвелла: вокруг конденсатора было действительно обнаружено магнитное поле.

Запишем теорему о циркуляции вектора напряженности магнит-

º º n

ного поля H d l = ∑ Ii макро .

Li = 1

Вправой части равенства записывается сумма всех макроскопических токов, существующих в системе и сцепленных с выбранным контуром. Согласно приведенным рассуждениям в эту сумму должны войти не только токи проводимости, но и токи смещения:

L

Тогда с учетом (25.4) можно записать:

L

Если контур L неподвижен, а поле исследуется в фиксированной области пространства, в последнем слагаемом необходимо взять частную производную по времени:

L

Уравнение (25.5) является вторым уравнением Максвелла для электромагнитного поля.

Итак, токи проводимости и токи смещения эквивалентны в смысле создания ими магнитного поля. Уравнение (25.5) показывает,

347

что циркуляция напряженности магнитного поля будет отлична от нуля и в том случае, когда выбранный контур не будет охватывать токи проводимости, а в пространстве будет существовать только переменное электрическое поле. На рис. 25.3 показаны линии магнитной индукции магнитного поля, возникающего при условии, что

Соотношение (25.5) описывает следующий физический процесс:

токи проводимости и изменяющееся во времени электрическое поле создают в пространстве вихревое магнитное поле. Таким образом, магнитное поле может создаваться как токами проводимости, так и переменным электрическим полем.

25.3.Система уравнений Максвелла

винтегральной форме

Введение Максвеллом понятия тока смещения свело воедино теорию электрических и магнитных явлений. Оказалось, что изменяющееся во времени магнитное поле создает в пространстве вихревое электрическое поле, а изменяющееся во времени электрическое поле создает в свою очередь магнитное поле, которое всегда является вихревым. Такая совокупность взаимосвязанных электрических и магнитных полей называется электромагнитным полем. Электромагнитное поле описывается системой фундаментальных уравнений Максвелла для неподвижных сред. В дополнение к двум уравнениям (25.2) и (25.5) запишем теоремы Гаусса для электрического и магнитного полей (соотношения (16.17) и (20.37)) и представим систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме:

348

Напомним, что физический смысл двух последних уравнений системы (25.6) соответственно заключается в следующем:

1)источниками потенциального электрического поля являются неподвижные электрические заряды;

2)неподвижных источников вихревого магнитного поля («магнитных зарядов») не существует.

25.4. Дивергенция и ротор векторного поля

Для описания свойств векторных полей используются понятия дивергенции и ротора векторного поля. Сравнение теорем Гаусса для

и интегральной форме

º º

D d S = ρ dV ,

из которого следует, что поток векторного поля через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого поля по объему, ограниченному этой поверхностью. В этом заключается математический смысл теоремы Остроградского, сформулированной им для любого векторного поля.

Поскольку магнитный поток через произвольную замкнутую

S

магнитной индукции также равна нулю:

º

div B = 0 . (25.8)

Уравнения (25.7) и (25.8) являются записью соответственно третьего и четвертого уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

Чтобы записать в дифференциальной форме первое и второе уравнения Максвелла, введем понятие ротора векторного поля. Для произвольного векторного поля, характеризуемого в каждой точке векто-

º

ром A , ротором (вихрем) поля называется вектор, равный максимальному значению предела отношения циркуляции поля по

349

произвольному замкнутому контуру к площади поверхности, ограниченной этим контуром, при стремлении последней к нулю (рис. 25.4).

º

При этом ротор вектора A направлен в сторону единичной нормали к этой поверхности, выбранной в соответствии с направлением

º

вектора A по правилу правого винта. Математически это записывается следующим образом:

Отличие ротора векторного поля от нуля указывает на вихревой характер поля, т.е. на замкнутость его силовых линий.

Вернемся к первому уравнению Максвелла (25.2)

LS

иприведем его к дифференциальному виду.

Вматематике существует теорема Стокса, согласно которой для

º

однозначной и непрерывной векторной функции A справедливо соотношение

LS

º

т.е. циркуляция вектора A по замкнутому контуру L равна потоку ротора этой функции через поверхность S, натянутую на контур L.

º

Ориентация вектора площадки d S должна быть согласована с ориентацией контура L по правилу правого винта.

rot A

n

A

S

L

Рис. 25. 4

350