Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

ний, называется критическим сопротивлением Rкр. Его значение определяется из условия ω0 = β:

Заметим, что период затухающих колебаний больше периода незатухающих колебаний:

Рассмотрим характеристики затухающих колебаний и сформулируем их физический смысл. Первая из них, непосредственно входящая в закон изменения колеблющейся величины, называется коэффициентом затухания β. Найдем отношение амплитуд колебаний в моменты времени t = t0 и t = t0 + τ :

Время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз,

называется постоянной времени. Поскольку eβτ = e, то β = 1/τ. Таким образом, коэффициент затухания равен величине, обратной времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний вводится также понятие логарифмического декремента затухания колебаний δ:

Если за время τ = NT система совершит N колебаний и их амплитуда уменьшится в е раз, то

δ = βT = T / τ = 1 / Ne.

Таким образом, логарифмический декремент затухания — величина, обратная числу колебаний Ne , в течение которых амплитуда

колебаний уменьшается в e раз.

Колебательный контур часто характеризуют добротностью Q — величиной, обратно пропорциональной логарифмическому декременту:

Чтобы пояснить физический смысл добротности, рассмотрим относительное изменение энергии контура за один период. Амплитуда

силы тока и напряжения на конденсаторе убывают по закону e–βt. Энергия, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату ампли-

336

туды силы тока (или квадрату амплитуды напряжения на конденса-

торе). Следовательно, энергия убывает по закону e–2βt. Относительное уменьшение энергии за период:

При незначительном затухании (при условии δ << 1) e–2δ ≈ 1 – 2δ, в результате

W / W = 1 – (1 – 2δ ) = 2δ.

Заменив в этом выражении логарифмический декремент δ через добротность контура Q в соответствии с формулой (24.17) и решив полученное уравнение относительно Q, получим:

Таким образом, добротность колебательного контура пропорциональна отношению энергии, запасенной в контуре, к ее убыли за один период.

Для малого затухания колебаний в цепи β << ω0 период T ≈

≈ 2πLC . Поэтому логарифмический декремент:

Итак, добротность контура равна отношению волнового сопротивления контура к его активному сопротивлению.

24.3. Вынужденные электрические колебания

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура источник переменной ЭДС (рис. 24.7), изменяющейся во времени по гармоническому закону с частотой ω:

E = Em cos ωt.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний можно получить, записав закон Ома для участка цепи 1—L—2 в виде:

IR = ϕ1 – ϕ2 + Es + E,

337

Напомним, что в уравнении (24.23) первое слагаемое представляет собой первую производную по времени от силы тока в контуре, второе слагаемое — произведение 2β на силу тока, третье слагаемое — про-

изведение ω02 на заряд конденсатора.

Используем метод векторных диаграмм. Будем изображать амплитуды гармонических функций, стоящих в левой части уравнения

(24.23) векторами, модули которых равны qmω2 , qm2βω и qmω02 .

Направления этих векторов на векторной диаграмме (рис. 24.8) определяются сдвигом фаз между соответствующими слагаемыми уравнения (24.23). Направим вектор, изображающий амплитуду напряжения на резисторе qm2βω , горизонтально вправо и относительно него

отложим два других вектора с учетом их фаз. Вектор, изображающий амплитуду напряжения на конденсаторе qmω02 , отстает от напряжения

на резисторе по фазе на π/2 — направим его вертикально вниз. Вектор, изображающий амплитуду падения напряжения на индуктивной

катушке qmω2 , опережает напряжение на резисторе по фазе на π/2 —

направим его вертикально вверх. Результатом сложения этих трех векторов будет вектор, модуль которого равен Em/L .

Из векторной диаграммы на рис. 24.8 находим, что

ψ 2βω tg = -------------------- .

ω2 – ω2 0

Используя теорему Пифагора, находим амплитуду вынужденных колебаний заряда:

339

Разделив заряд qm на электрическую емкость конденсатора C, получим амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе:

Дифференцируя выражение (24.25) по переменной ω и приравнивая полученную производную к нулю, определяем резонансную частоту внешнего воздействия ω = ωр, при которой амплитуда колеба-

ний заряда или напряжения на конденсаторе достигает максимума:

ωp = ω20 – 2β2 .

График зависимости амплитуды напряжения на конденсаторе от частоты вынуждающей ЭДС при различных коэффициентах затухания контура β приведен на рис. 24.9.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешнего воздействия называется резонансом.

При неограниченном возрастании частоты внешнего воздействия (ω → ×) амплитуда колебаний стремится к нулю.

При частоте вынуждающей ЭДС, близкой к частоте собственных гармонических колебаний ω ≈ ω0, из (24.25) можно получить:

что совпадает с формулой для добротности (24.19). Таким образом,

добротность контура показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе при резонансе больше амплитуды вынуждающей ЭДС.

Рис. 24. 9

340