Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Если конденсатор подключить к катушке, он начнет разряжаться, и в контуре возникнет электрический ток. При этом сила тока увеличивается постепенно от нуля до некоторого максимального значения, поскольку в катушке возникает ЭДС электромагнитной индукции, препятствующая увеличению силы тока в контуре. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но при этом будет возникать все увеличивающаяся энергия магнитного поля, обусловленного током через катушку. Энергия магнитного поля определяется

индуктивностью катушки L и силой тока в цепи I: Wм = LI2 / 2.

В тот момент, когда конденсатор полностью разряжается, его заряд, а значит, и энергия электрического поля обращаются в нуль, в то время как сила тока в цепи, а значит, и энергия магнитного поля достигают максимального значения (рис. 24.1, б):

Wм m = LIm2 ⁄ 2 .

Несмотря на то что конденсатор полностью разряжен, в контуре продолжает существовать ток того же направления, так как возникающая в катушке самоиндукция препятствует теперь уже уменьшению силы тока в цепи. Сила тока уменьшается от максимально значения до нуля, а конденсатор заряжается. Знаки зарядов обкладок при этом противоположны знакам зарядов в исходном состоянии (рис. 24.1, в). Энергия магнитного поля катушки переходит в энергию электрического поля конденсатора. Далее вновь повторяется процесс разрядки конденсатора, но ток в контуре уже имеет противоположное направление. Так возникают электрические колебания в контуре.

Поскольку активное сопротивление контура равно нулю, полная энергия системы, состоящая из энергий электрического и магнитного полей остается постоянной:

Определим закон изменения заряда конденсатора во времени. Для этого составим дифференциальное уравнение колебаний в колебательном контуре, схема которого приведена на рис. 24.2. Запишем

331

закон Ома для участка цепи 1—L—2, приняв, что направление тока соответствует зарядке конденсатора:

где R — сопротивление контура; Es — ЭДС самоиндукции.

Разность потенциалов ϕ1 – ϕ2 на участке цепи 1—L—2 равна напряжению на конденсаторе, взятому со знаком «–»: ϕ1 – ϕ2 = –UC = = – q / C. Электродвижущая сила самоиндукции Es определяется зако-

dI

ном Фарадея: Es = – L -d----t . Учтем, что сила тока при зарядке конден-

сатора равна первой производной заряда конденсатора по времени I = dq/dt.

Разделим все слагаемые последнего уравнения на индуктивность катушки L:

где ω0 — частота собственных гармонических колебаний, получим:

Уравнение (24.3) называется дифференциальным уравнением собственных незатухающих колебаний заряда в колебательном контуре. Решением уравнения (24.3) является гармоническая функция

где qm — амплитудное значение заряда конденсатора; α — начальная фаза колебаний заряда.

332

Период собственных колебаний колебательного контура определяется по формуле Томсона

С учетом (24.4) выведем закон изменения силы тока в контуре. Для этого найдем производную заряда по времени:

Из сопоставления уравнений (24.4) и (24.6) видно, что колебания силы тока в контуре опережают колебания заряда по фазе на π/2, а по времени — на четверть периода. Графики изменения заряда конденсатора и силы тока в колебательном контуре при α = 0 представлены на рис. 24.3.

Чтобы получить зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени, воспользуемся формулой:

где Um = qm / C — амплитуда напряжения на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе изменяется со временем в одной фазе с зарядом конденсатора.

Отношение амплитудного значения напряжения на конденсаторе к амплитудному значению силы тока в цепи называют волновым

333

сопротивлением контура (по аналогии с сопротивлением R в законе Ома для однородного участка цепи):

Энергия электрического поля в конденсаторе и энергия магнитного поля в соленоиде во времени при нулевой начальной фазе колебаний изменяются согласно следующим зависимостям:

Графики колебаний заряда, энергии магнитного и электрического полей представлены на рис. 24.4. Анализ приведенных зависимостей показывает, что колебания энергии магнитного и электрического полей происходят с частотой, равной удвоенной частоте собственных колебаний, а сумма этих энергий, равная полной энергии контура, с течением времени остается величиной постоянной. Значение полной энергии на рис. 24.4. показано штриховой линией.

24.2.Свободные затухающие колебания

В§ 24.1 был рассмотрен процесс свободных гармонических (незатухающих) колебаний в контуре при отсутствии активного сопротивления. Проанализируем теперь колебательный процесс, происходящий в контуре при наличии резистора с сопротивлением R (рис. 24.5).

Будем считать, что направление тока в контуре соответствует зарядке конденсатора. Запишем для участка цепи 1—L—2 закон Ома:

IR = ϕ1 – ϕ2 + Es,

где I = dq/dt;

После подстановки и преобразований получим:

334

С учетом этих обозначений соотношение (24.9) принимает стандартный вид дифференциального уравнения затухающих колебаний:

где ϕ — начальная фаза; ω — частота затухающих колебаний, причем

График затухающих колебаний заряда на обкладках конденсатора приведен на рис. 24.6.

Поскольку амплитуда колебаний заряда qme– βt уменьшается с

течением времени, затухающие колебания не являются гармоническими. Однако для них удобно ввести понятие условного периода колебаний:

T = 2π ⁄ ω = 2πω20 – β2 .

Анализ формулы (24.13) показывает, что при условии ω20 ≤ β2

колебания в системе не возникают. Значение максимального сопротивления контура, при котором еще возможно возникновение колеба-

335