Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

º

Направление B при выбранном направлении тока в проводнике определяется в соответствии с правилом буравчика и указано на рис. 20.10. Вычислим циркуляцию магнитной индукции вдоль контура, совпадающего с линией магнитной индукции, причем направление обхода контура выберем по часовой стрелке. Элемент окруж-

º º

ности d l совпадает в каждой точке по направлению с вектором B . Тогда

º

где dϕ — угол, под которым элемент d l виден из центра окружности. Циркуляция магнитной индукции по всему замкнутому контуру определяется следующим соотношением:

Таким образом, в отличие от циркуляции напряженности электростатического поля, циркуляция магнитной индукции по замкнутому контуру не равна нулю, следовательно, магнитное поле не является потенциальным.

Теперь найдем циркуляцию магнитной индукции вдоль произвольного контура L, не совпадающего с линией магнитной индукции (рис. 20.11). Учитывая, что dl cos α = r dϕ, можем записать:

L0

271

Приведенный вывод повторяет результат, полученный в соотношении (20.18). Отметим, что в случаях, изображенных на рис. 20.10 и 20.11, проводник с током пересекал поверхность, ограниченную контуром L. Такой проводник (или ток) называют проводником

(током), сцепленным с контуром.

Рассмотрим, чему будет равна циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, не охватывающему ток (рис. 20.12). В этом случае весь контур L разбивается на две части —

Итак, если ток не сцеплен с контуром, то циркуляция магнитной индукции по такому контуру равна нулю.

Если магнитное поле создается системой токов, то из принципа суперпозиции магнитных полей следует, что в правой части (20.18) необходимо будет записать алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром. При этом знак тока определяется в соответствии с выбранным направлением обхода контура. Если направление тока и направление обхода контура согласуются с правилом правого винта, то сила тока берется со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. Если получено положительное значение циркуляции магнитной индукции, то это означает, что угол между направлениями

272

º

магнитной индукции и элемента контура d l является острым. Рисунок 20.13 и выражение (20.19) иллюстрируют правило знаков:

L

Таким образом, циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, сцепленных с этим контуром:

Li = 1

Теорему о циркуляции магнитной индукции называют также

законом полного тока для магнитного поля.

Поскольку циркуляция магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру в общем случае отлична от нуля, то магнитное поле не является потенциальным. Оно относится к вихревым физическим полям. Вихревой характер поля означает, что его линии магнитной индукции замкнуты сами на себя, а неподвижные «магнитные заряды», создающие такое поле, в природе отсутствуют.

Рассмотрим методику применения закона полного тока для определения магнитной индукции различных полей. Этот закон удобно использовать для расчета магнитной индукции таких магнитных полей, которые создаются симметричными системами токов. В этом случае можно так выбрать контур интегрирования, что циркуляция магнитной индукции поля по нему легко выражается через искомое

º

значение модуля вектора B . Решение задачи о нахождении индукции поля в какой-либо точке пространства должно осуществляться следующим образом:

1) исходя из симметрии распределения заданной системы токов в пространстве, необходимо построить линии магнитной индукции

º

поля, т.е. определить направление вектора B в любой точке пространства;

2) выбрать «удобный» замкнутый контур интегрирования, отвечающий следующим требованиям:

а) контур должен проходить через исследуемую точку;

б) длина контура должна быть известна;

в) модуль индукции поля должен быть постоянен в точках всего контура или хотя бы его части;

273

º

г) угол между вектором B и касательной к контуру должен быть известен в любой точке контура (это обеспечивается выполнением п. 1);

3) определить циркуляцию магнитной индукции по выбранному замкнутому контуру:

Ln

где Bi — постоянный модуль магнитной индукции во всех точках части контура li;

4)определить алгебраическую сумму токов, сцепленных с контуром;

5)применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в

пп.3 и 4, с учетом коэффициента пропорциональности μ0.

Пример 20.3. Определим магнитную индукцию поля бесконечно длинного соленоида. Таким термином называется катушка, образованная одинаковыми плотно прилегающими один к другому витками (рис. 20.14), причем длина катушки существенно больше ее диаметра.

Изобразим на рис. 20.15 фрагмент центральной части соленоида, указав направления тока в его витках. Выберем контур интегрирования L, состоящий из четырех участков. Первый участок длиной l1

проведем вдоль оси соленоида. Вблизи оси соленоида магнитное

274

поле можно считать однородным. Здесь линии магнитной индукции параллельны оси, а модуль индукции не изменяется.

Участки контура l2 и l4 проведем так, чтобы они были перпендикулярны линиям магнитной индукции. Замкнем контур участком l3

настолько далеким от оси соленоида, чтобы магнитную индукцию в точках этого участка контура можно было бы принять равной нулю. При таком выборе контура циркуляция магнитной индукции будет отлична от нуля только на участке l1:

Ll1

Алгебраическая сумма токов, сцепленных с контуром L, определится числом токов в витках соленоида, расположенных на длине отрезка l1:

i = 1

где n — число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины. Применим закон полного тока, приравняв выражения (20.21) и (20.22), с учетом коэффициента μ0:

Тогда модуль магнитной индукции в центре бесконечно длинного соленоида на его оси

Найдем модуль магнитной индукции в центре основания бесконечно длинного соленоида. Для этого магнитную индукцию в среднем сечении такого соленоида представим суммой магнитных индукций, создаваемых левой 1 и правой 2 бесконечно длинными половинами соленоида (рис. 20.16): B = B1 + B2. Поскольку B1 = B2 =

= Bоснов, то

20.3.Движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях. Эффект Холла

Экспериментально обнаружено, что магнитное поле действует на движущиеся в нем частицы, имеющие электрические заряды (см. § 20.1). В соответствии с (20.1), магнитная индукция равна отношению максимальной силы, действующей со стороны магнитного

275