Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

где α — угол между векторами dºl и ºr . Поскольку элемент dºl виден из точки М под малым углом dα, то sin α ≈ sin β, dl sin α = = dl sin β = r dα, так как отрезок r dα практически совпадает с дугой окружности радиусом r с центром в точке М. Наконец,

Подставляя полученные выше соотношения в (20.10), получаем:

I α α dB = k ---- sin d .

x

Тогда

266

где α1 и α2 — углы между направлением тока в проводнике и направлениями к точке М из начала и конца проводника (см. рис. 20.4).

Из (20.11) можно получить выражение для модуля индукции магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током. Таким объектом будет отрезок прямого провода, если исследуемая точка М находится настолько близко к проводу, что расстояние x во много раз меньше расстояний от точки М до концов отрезка проводника, т.е. границы проводника не видны из точки М. Следовательно α1 → 0 , α2 → π . Формула (20.11) в СИ принимает вид

º

Для определения направления вектора B в произвольной точке применимо следующее правило (правило правого винта, или «правило буравчика»): если ввинчивать правый винт по направлению тока в прямолинейном проводнике, то направление движения рукоятки винта укажет направление вектора магнитной индукции в каждой точке пространства. На рис. 20.5 показано, что во всех точ-

º

ках плоскости рисунка слева от проводника векторы B направлены перпендикулярно плоскости рисунка «на нас», а во всех точках справа от проводника — «от нас».

º

Eсли рассмотреть направление векторов B в различных точках, то можно сделать такой вывод: векторы магнитной индукции магнитного поля прямолинейного бесконечного проводника с током расположены в плоскостях, перпендикулярных проводнику, причем в точках, равноудаленных от проводника, модули векторов одинаковы. Для графического изображения стационарного, т.е. не изменяющегося во времени, магнитного поля пользуются методом линий магнитной индукции.

Линиями магнитной индукции называются воображаемые линии, проведенные так, что в каждой точке поля касательная к

º

линии магнитной индукции совпадает с направлением вектора B в

этой точке поля. Линии магнитной индукции можно наблюдать с помощью мелких игольчатых железных опилок, которые намагничиваются в исследуемом поле и ведут себя подобно маленьким магнитным стрелкам, разворачиваясь вдоль линий магнитной индукции. Подобный метод графической иллюстрации магнитного поля напоминает изображение электрических полей с помощью силовых линий. Так же как и силовые линии электрических полей, линии магнитной индукции не пересекаются и не соприкасаются. Однако есть

267

Рис. 20. 5

существенные отличия свойств силовых линий электростатического поля и линий магнитной индукции.

Во-первых, силовые линии в каждой точке указывают направление силы, действующей на заряд в электрическом поле (отсюда и название), а направление линий магнитной индукции не указывает направление силы, действующей на движущийся заряд в магнитном поле; поэтому их не рекомендуется называть силовыми линиями магнитного поля.

Во-вторых, силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах, а линии магнитной индукции замкнуты.

Будем называть магнитное поле однородным, если во всех его

º

точках векторы индукции B совпадают по модулю и направлению. В этом случае линии магнитной индукции параллельны одна другой, т.е. замыкаются на бесконечно большом удалении от рассматриваемой точки пространства. Однородным можно считать магнитное поле между полюсами постоянного магнита.

В случае бесконечно длинного прямолинейного проводника с током линии магнитной индукции образуют систему концентрических окружностей, центры которых расположены на проводнике, а плоскости окружностей перпендикулярны проводнику (рис. 20.6). Направления линий магнитной индукции определены по правилу буравчика.

Пример 20.2. Определим магнитную индукцию магнитного поля кругового витка радиусом R с током силой I (рис. 20.7).

Пусть исследуемая точка М находится на его оси на расстоянии z от плоскости витка. На рис. 20.7 плоскость витка с током перпендикулярна плоскости рисунка. Выделим в витке элемент длиной dl,

º

которому будет соответствовать вектор d l . Пусть это будет эле-

268

закону Био — Савара — Лапласа, элементарная магнитная индукция d ºB ′ , создаваемая в точке М этим элементом проводника, будет

определяться выражением (20.9). Направление вектора d ºB ′ определим по правилу векторного произведения: если правый винт вращать по кратчайшему пути от первого сомножителя произведения (век-

тора dºl ) ко второму сомножителю (вектору ºr ), то поступательное движение винта укажет направление d ºB ′ .

На рис. 20.7 показано, что вектор d ºB ′ направлен в плоскости

рисунка перпендикулярно вектору ºr . Если рассмотреть различные элементы витка, то можно сделать вывод, что все элементарные

индукции d ºB ′ будут направлены в точке М под одним и тем же углом α к оси витка, причем их модули будут одинаковы. Из условий симметрии следует, что вектор магнитной индукции поля, создаваемого всем витком с током, будет направлен вдоль оси витка Z . Поэтому нужно суммировать проекции элементарной магнитной индукции на ось Z. Тогда согласно принципу суперпозиции (20.8)

Это выражение в СИ принимает вид

График зависимости магнитной индукции на оси витка от координаты z приведен на рис. 20.8.

269

0z

Из (20.14) легко получить выражение для модуля магнитной индукции в центре кругового витка с током (z = 0):

модуль которого равен произведению силы тока в витке I на площадь витка S, а направление совпадает с единичным вектором нормали к витку:

20.2. Теорема о циркуляции магнитной индукции

Определим циркуляцию магнитной индукции вдоль произвольного замкнутого контура. Сначала рассмотрим магнитное поле, созданное длинным прямолинейным проводником с током силой I. Линии магнитной индукции поля такого проводника представляют собой окружности, центры которых совпадают с осью проводника. На рис. 20.10 пунктирной окружностью показана одна из линий магнитной индукции. Проводник расположен перпендикулярно плоскости рисунка. Ток в проводнике направлен в плоскость чертежа «от нас».

Модуль магнитной индукции в каждой точке окружности радиусом r определяется по формуле (20.12):

μ I

B = --------0 . 2πr

270