Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Электрической емкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между его обкладками:

Так же как и электрическая емкость проводника, электрическая емкость конденсатора не зависит ни от величины заряда конденсатора, ни от разности потенциалов между его обкладками, а зависит только от размера и формы конденсатора, а также от диэлектрических свойств среды между обкладками конденсатора. Электрическая емкость конденсатора не зависит от наличия вблизи него других проводящих или диэлектрических тел и электрических полей.

Поскольку электрическая емкость величина положительная, а под зарядом конденсатора понимается модуль заряда одной из обкладок, то модуль разности потенциалов между обкладками обозначается символом U. Обычно выражение электрической емкости конденсатора записывается в виде:

C = Q / U.

Термин «электрическая емкость» возник еще в середине XVIII в., когда отсутствовало понятие электрических зарядов, а электрические явления описывались поведением «электрической жидкости», которая «переливалась» из одного проводника в другой по проводам. Таким образом, емкость конденсатора определяла «количество электрической жидкости», которое он может в себя вместить. Поэтому первый конденсатор получил название «лейденская банка» (по названию города Лейден, в котором он был сконструирован).

Пример 17.2. Выведем формулу электрической емкости плоского конденсатора, изображенного на рис. 17.7, а. Определим напряженность электростатического поля, создаваемого зарядом + Q одной из пластин площадью S. Силовые линии такого поля изображены на рис. 17.8.

Eсли рассмотреть точки пространства, расположенные настолько близко к пластине, что расстояние от них до пластины существенно меньше, чем до ее границ (из этих точек пластина будет представляться как бесконечно большая плоскость), то искривлением силовых линий у границ пластины можно пренебречь (рис. 17.9). Таким образом, большая заряженная пластина площадью S создает однородное поле. Ввиду симметричности системы модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от пластины, должен быть одинаковым,

º

а направление вектора E зависит только от положения исследуемой точки пространства (слева или справа от пластины).

231

Определим напряженность поля в некоторой точке с координатой x, отсчитываемой вдоль оси OХ, направленной перпендикулярно пластине. Для этого в качестве гауссовой поверхности выберем поверхность цилиндра, ось которого перпендикулярна плоскости, а основание имеет площадь S1 (рис. 17.10).

Модуль напряженности поля одинаков во всех точках оснований

º

цилиндра, исходя из симметрии системы. Угол между E и внешней нормалью к поверхности во всех точках боковой поверхности цилиндра равен π / 2, а во всех точках левого и правого оснований гауссова цилиндра этот угол равен нулю.

Определим поток напряженности поля через выбранную поверхность:

SSлев

где Sлев — площадь левого основания гауссова цилиндра; Sправ — площадь правого основания гауссова цилиндра; Sбок — площадь боковой поверхности гауссова цилиндра. Получаем

S

232

Определим алгебраическую сумму зарядов, охваченных цилиндрической гауссовой поверхностью. В данном случае электрический заряд, попавший внутрь неё, — это заряд «вырезанной» цилиндром части пластины. Его можно найти, умножив площадь основания цилиндра на поверхностную плотность заряда пластины:

Приравняем (17.9) и (17.10) с учетом коэффициента ε0, получим:

Полученное соотношение определяет модуль напряженности однородного поля бесконечно большой заряженной пластины.

Расположим две разноименно заряженные пластины на малом расстоянии одна от другой так, чтобы выполнялось условие однородности поля каждой из них. На рис. 17.11 показаны силовые линии поля каждой пластины. Видно, что в пространстве между пластинами напряженности полей пластин совпадают по направлению, а вне пластин противоположны. Поэтому с учетом (17.11) запишем напряженность поля по принципу суперпозиции:

E = 0, x < 0, x > d.

В этом случае разность потенциалов между обкладками конденсатора можно определить следующим образом:

По определению (17.8) запишем электрическую емкость плоского конденсатора:

233

Следует учесть, что если пространство между обкладками любого конденсатора заполнить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε, то при том же значении заряда обкладок напряженность поля между обкладками уменьшится в ε раз. Поэтому в ε раз уменьшится разность потенциалов между ними, а следовательно, в ε раз увеличится емкость конденсатора. Запишем формулу емкости плоского конденсатора, заполненного диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε:

Аналогично можно вывести формулу емкости сферического конденсатора:

Если конденсатор заполнен диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε, то

Подчеркнем еще раз, что электрическая емкость конденсатора зависит от его размера, формы обкладок и диэлектрических свойств среды, находящейся между его обкладками.

17.3.Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии

Рассмотрим процесс зарядки проводника. Чтобы его заряд достиг величины Q, будем сообщать проводнику заряд порциями dq, перенося их из бесконечно удаленной точки 1 на поверхность проводника в точку 2 (рис. 17.12).

Для передачи проводнику новой порции заряда dq внешние силы должны совершить работу против сил электрического поля:

δAвнеш = – dAполя = – dq(ϕ1 – ϕ2).

234

Если проводнику передан заряд q, то его потенциал ϕ = q / C. Работу внешних сил по зарядке проводника зарядом Q рассчитаем так :

Согласно закону сохранения энергии приращение электрической энергии проводника равно работе внешних сил:

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора электрической емкостью С от источника ЭДС. Источник в процессе зарядки переносит заряды на пластины конденсатора, причем сторонние силы источника совершают работу по увеличению энергии конденсатора:

где Q — заряд конденсатора после его зарядки. Тогда энергия электрического поля в конденсаторе

2 º º

С учетом того, что Q = C | ϕ1 – ϕ2 | и ϕ1 – ϕ2 = ∫ E d l , энергию

1

электрического поля можно представить двумя способами:

Сопоставление двух соотношений позволяет задать вопрос: с чем связана энергия электрического поля — с электрическим зарядом, создающим поле (первая формула), или с напряженностью поля (вторая формула)? Оба записанных равенства согласуются с результатами экспериментов, т.е. расчет энергии поля можно одинаково правильно осуществлять по обеим формулам. Однако такое наблюдается только в электростатике, т.е. когда осуществляется расчет энергии поля неподвижных зарядов.

235