Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Рассмотрим распределение зарядов по поверхности проводника с различными радиусами кривизны в разных точках поверхности. Пусть два удаленных друг от друга заряженных шара разных радиусов R1 и R2 имеют заряды Q1 и Q2 (рис. 17.3). После соединения этих

шаров тонкой проволокой образуется один проводник с изменяющейся кривизной поверхности. Заряды перераспределяются между шарами до тех пор пока их потенциалы не станут равны (зарядами на поверхности тонкой проволоки пренебрегаем):

где Q1′ и Q2′ — новые заряды шаров. Из последнего выражения с учетом (17.2) получаем σ′1R1 = σ′2R2 . Таким образом, поверхностная

плотность заряда увеличивается на тех участках поверхности проводника, где радиус кривизны поверхности меньше. В результате вблизи острых концов проводников накапливается большой заряд и создается сильное электростатическое поле с большой напряженностью.

Распределение силовых линий поля, создаваемого заряженным проводником произвольной формы, показано на рис. 17.4. Вблизи острия проводника силовые линии расположены ближе одна к другой, так как модуль напряженности поля вблизи острия принимает самые большие значения.

Сформулируем основные свойства электростатического поля при наличии проводников:

1)электростатическое поле внутри проводника отсутствует;

2)при помещении проводника в электростатическое поле в проводнике возникают индуцированные заряды, которые располагаются исключительно на поверхности проводника;

3)свободные заряды, привнесенные на проводник, также распределяются по его поверхности;

4)силовые линии электростатического поля вблизи поверхности проводника перпендикулярны к его поверхности;

5)все точки проводника имеют одинаковый потенциал;

226

6)поверхностная плотность заряда на поверхности проводника обратно пропорциональна радиусу кривизны поверхности;

7)при переходе через поверхность заряженного проводника

напряженность электрического поля изменяется скачком на E = = σ ⁄ ε0.

17.2. Электрическая емкость. Конденсаторы

Найдем связь потенциала проводника с его электрическим зарядом. Рассмотрим проводник произвольной формы, бесконечно удаленный от других проводников. Если сообщить этому проводнику некоторый свободный заряд Q, то он распределится по поверхности проводника. Плотность поверхностного заряда σ в каждой точке поверхности проводника будет пропорциональна заряду Q, а зависимость поверхностной плотности заряда от координат определится

функцией f (ºr ) , зависящей от формы проводника:

Каждая следующая порция заряда, переносимого на проводник, будет распределяться по поверхности с плотностью согласно зависимости (17.3). Вычислим потенциал произвольной точки A заряженного проводника (рис. 17.5), пользуясь методом суперпозиции.

Выделим на поверхности проводника малый элемент dS, который

имеет заряд dQ = σ(ºr ) dS . Размеры элемента поверхности dS должны быть настолько малы, чтобы заряд dQ можно было бы считать точечным. Примем потенциал равным нулю на бесконечности и воспользуемся формулой потенциала точечного заряда:

227

поскольку потенциалы всех точек проводника равны, значение интеграла в (17.4) должно быть константой. Введем обозначение:

где C — константа, зависящая от формы и размеров проводника. Теперь потенциал проводника запишем следующим образом:

Итак, потенциал уединенного проводника пропорционален его заряду и обратно пропорционален константе C, определяемой геометрией проводника.

Физический смысл константы C, называемой электрической емкостью, определим из (17.5):

Электрической емкостью уединенного проводника называется физическая величина, равная отношению заряда проводника к его потенциалу в поле этого заряда. Электрическая емкость проводника показывает, какой заряд необходимо сообщить проводнику для того, чтобы его потенциал принял заданное значение. Чем больше заряд проводника, тем больше его потенциал в поле этого заряда. Электрическая емкость не зависит ни от заряда проводника, ни от его потенциала, а зависит только от размера и формы проводника, а также от диэлектрических свойств среды, в которой он находится. Единица измерения электрической емкости проводника в СИ называется фарад (обозначается Ф): 1 Ф = 1 Кл / 1 В.

Расчет электрической емкости уединенных проводников производится по формуле (17.6) следующим образом:

1)задается произвольный заряд проводника Q;

2)с помощью метода суперпозиции или теоремы Гаусса определяется напряженность электрического поля;

3)с помощью интегральной связи напряженности и потенциала по известной напряженности определяется потенциал;

4)по формуле (17.6) определяется электрическая емкость:

º

Q E (Q) ϕ(Q) C = Q ⁄ ϕ(Q) .

Подчеркнем, что электрическая емкость проводника не зависит от его заряда Q.

Пример 17.1. Выведем формулу емкости проводящего шара радиусом R, находящегося в вакууме. Для этого сообщим шару произвольный заряд Q. Заряд равномерно распределится по поверхности

228

каждой точке поверхности шара. Этот заряд создаст электростатическое поле, напряженность которого определяется следующим образом (см. пример 15.6, § 15.7):

В соответствии с (17.6) электрическая емкость шара запишется в виде

Из (17.7) видно, что электрическая емкость проводника 1 Ф — это колоссальное значение: шар с такой электрической емкостью должен

иметь радиус 9 109 м, что соответствует радиусу орбиты Меркурия. Поэтому для практического измерения емкости проводников использу-

ются следующие единицы: 1 мкФ (микрофарад) = 10– 6 Ф; 1 нФ (нанофарад) = 10 – 9 Ф; 1 пФ (пикофарад) = 10–12 Ф.

При определении электрической емкости проводника описанным выше способом важно, чтобы вблизи него не находились другие проводники, т.е. чтобы проводник был уединенным.

Рассмотрим, как изменится электрическая емкость проводника, если он будет находиться рядом с незаряженным проводником. Допустим, что проводник 1 обладает положительным зарядом (рис. 17.6). Этот заряженный проводник создает электрическое поле. Поэтому в незаряженном проводнике 2 произойдет разделение зарядов (электростатическая индукция) на отрицательные – qинд и поло-

229

жительные +qинд , причем алгебраическая сумма индуцированных

зарядов будет равна нулю. В свою очередь в электрическом поле индуцированных зарядов перераспределятся и заряды на проводнике 1. В результате потенциал заряженного проводника изменится. Изменится и его электрическая емкость. Аналогичный вывод можно сделать, если вблизи положительно заряженного проводника располагается незаряженное диэлектрическое тело. На поверхности диэлектрика образуются связанные поляризационные заряды, что приведет к изменению потенциала и электрической емкости самого проводника.

Таким образом, электрическая емкость проводника зависит от наличия в пространстве вблизи него любого тела (проводника или диэлектрика).

Если заряженные проводники располагаются таким образом, что электрическое поле существует только в пространстве между ними, то они образуют конденсатор. Сами проводники при этом называются обкладками конденсатора. Примеры расположения двух обкладок, образующих конденсаторы, приведены на рис. 17.7, а— в.

Это соответственно плоский, цилиндрический и сферический конденсаторы. Плоский конденсатор создается системой двух бесконечно больших параллельных пластин площадью S, находящихся на

малом расстоянии d одна от другой (d <<S ). Цилиндрический конденсатор образован двумя бесконечно длинными коаксиальными цилиндрами (l >> (R2 – R1)), а сферический — двумя концентриче-

скими сферами. На рис. 17.7, в. последний представлен линиями пересечения обкладок (сфер) с плоскостью чертежа. Если обкладки каждой из этих систем зарядить разноименными одинаковыми по модулю зарядами, то электрическое поле образуется только в пространстве между ними. Модуль заряда любой из обкладок называется зарядом конденсатора.

Рис. 17. 7

230