Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

При рассмотрении теории электромагнитного поля в дальнейшем увидим, что электрическое поле может создаваться не только неподвижными зарядами. Электростатическое поле — это частный случай электромагнитного поля. Его энергия распределена в пространстве с определенной плотностью.

Определим энергию электрического поля плоского конденсатора. Подставим в (17.15) выражение для электрической емкости C = εε0S / d

и формулу связи разности потенциалов и напряженности однородного поля ϕ1 – ϕ2 = Ed. В результате получим :

где Sd = V — объем конденсатора, т.е. объем той части пространства, в которой создано электрическое поле. Введем величину

которая называется объемной плотностью энергии поля. Она равна отношению энергии поля, заключенного в некотором объеме пространства, к этому объему.

Следовательно, энергия однородного электрического поля W = wэV =

εε0E 2

=--------------- V . Если поле неоднородное, то можно выбрать такой эле-

2

ментарный объем пространства dV, в пределах которого значение напряженности поля будет практически одинаковым. Тогда по аналогии с предыдущей формулой выражение для энергии поля в эле-

Пример 17.3. Рассчитаем энергию электрического поля, созданного проводящим шаром радиусом R, заряженным зарядом Q и находящимся в среде с относительной диэлектрической проницае-

236

Поскольку напряженность поля зависит только от радиальной координаты r, то она будет практически постоянна в пределах тонкого сферического слоя с радиусом внутренней поверхности слоя r и

толщиной dr (рис. 17.13). Объем этого слоя dV = 4πr 2dr. Тогда энергия поля

Аналогичный результат можно получить, если вычислять энергию заряженного шара по формуле (17.15). Воспользовавшись выражением электрической емкости уединенного шара C = 4πεε0R,

получим:

Однако расчет по формуле (17.15) неприменим, если необходимо найти энергию электрического поля, заключенную не во всем объеме пространства, где присутствует поле, а лишь в части объема этого пространства.

17.4. Теорема Гаусса в дифференциальной форме. Уравнение Пуассона

Рассмотренные выше способы решения основной задачи электростатики, т.е. нахождения напряженности и потенциала электростатического поля по заданному распределению электрических зарядов, сводятся к двум основным методам.

Метод 1. В исследуемой точке пространства по заданному распределению зарядов находится напряженность электростатического

237

поля. Для этого применяется принцип суперпозиции (15.9) или теорема Гаусса (16.17). На следующем этапе ищется потенциал исследуемой точки поля. Для этого используется интегральная связь напряженности и потенциала (15.16).

Метод 2. В исследуемой точке пространства по заданному распределению зарядов находится потенциал электростатического поля. Для этого применяется принцип суперпозиции (15.17). На следующем этапе определяется напряженность в исследуемой точке поля. Для этого используется дифференциальная связь напряженности и потенциала (15.18).

Оба этих метода, основанные на первоначальном использовании или теоремы Гаусса, или принципа суперпозиции, имеют определенные недостатки. Во-первых, использование принципа суперпозиции очень часто приводит к интегрированию весьма сложных функций. Решение подобных задач в аналитическом виде иногда просто невозможно, и приходится применять методы численного интегрирования. Во-вторых, несмотря на всеобщий характер, теорема Гаусса удобно разрешима только для симметричных систем зарядов.

Попытаемся преодолеть эти трудности, рассмотрев использование теоремы Гаусса в дифференциальном виде. Допустим, что электрический заряд произвольным образом распределен в пространстве. Для несимметричной системы зарядов невозможно подобрать «удобную» замкнутую гауссову поверхность конечной площади, проходящую через исследуемую точку пространства. Поэтому охватим эту точку A некоторой произвольной замкнутой поверхностью, ограничивающей бесконечно малый объем пространства. В качестве такой поверхности выберем поверхность кубика с размерами dx × dy × dz (рис. 17.14). Тогда выражение (16.17) запишется в виде

238

где слева представлен элементарный поток электрического смещения через выбранную поверхность, а справа — элементарный свободный заряд, охваченный ею.

где знак «–» означает, что внешняя нормаль к левой грани кубика направлена противоположно оси ОY; Dy( y) — проекция вектора

смещения на ось ОY на левой грани кубика, т.е. в точке с координатой у ; а dS1 — площадь левой грани кубика, причем dS1 = dxdz.

º

Аналогично поток вектора D через правую грань кубика dΦ2 = Dy ºj dºS 2 = Dy( y + d y) dS2 ,

где dS2 — площадь правой грани кубика, причем dS2 = dxdz. Проек-

ция вектора смещения на ось ОY на правой грани кубика, т.е. в точке с координатой y + d y ,

Суммарный поток вектора смещения через левую и правую грани кубика

Таким же образом можно получить суммарный поток вектора смещения через верхнюю и нижнюю грани кубика

а также через переднюю и заднюю грани:

239

Полный поток через всю гауссову поверхность получим, сложив выражения (17.19) — (17.21):

Полученное соотношение представляет собой элементарный поток электрического смещения (выражение, стоящее в левой части формулы (17.18)). Выражение для правой части этой формулы можно найти, использовав понятие объемной плотности заряда. Элементарный свободный заряд, охваченный гауссовой поверхностью, равен произведению объемной плотности заряда и объема кубика:

Приравняв теперь выражения (17.22) и (17.23), получим:

Левая часть последнего выражения в векторной алгебре называется

º

дивергенцией вектора D :

Это соотношение называется теоремой Гаусса в дифференциальной форме. Решение дифференциальных уравнений всегда гораздо проще, чем решение интегральных уравнений, а поэтому в системах со сложным распределением зарядов (когда их объемная плотность различна в разных точках пространства) решение уравнения (17.24) позволяет найти функцию D (x, y, z) значительно легче.

Для однородной и изотропной среды выражение (17.24) можно преобразовать для нахождения напряженности электрического поля:

240