Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Воспользуемся дифференциальной связью напряженности и потенциала электростатического поля (15.18). В результате получим, что

Левая часть полученного равенства представляет собой операцию суммирования вторых частных производных скалярной функции по координатам. В математике такую операцию называют оператором

Лапласа и обозначают 2 ≡ ϕ (не путайте с разностью потенциалов!). Таким образом, получим:

Это дифференциальное уравнение второго порядка, называемое уравнением Пуассона, позволяет по заданному распределению зарядов получить распределение потенциала электростатического поля, созданного этими зарядами.

241

Г л а в а 18

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

Пример 18.1. Определить силу взаимодействия равномерно заряженной сферы радиусом R и зарядом Q с равномерно заряженным стержнем длиной l и зарядом q. Ближайший конец стержня находится на расстоянии r (r > R) от центра сферы.

Будем искать силу F, действующую со стороны сферы на стержень. Рассмотрим два положения стержня: исходное положение 1 и положение 2 (рис. 18.1), в которое стержень сместится на расстояние d r от сферы. Работа электростатического поля сферы по перемещению всего стержня в такое положение равна δA = F d r.

Однако положения 2 можно достигнуть иначе: можно самый

на правый конец стержня, не перемещая другие его части. В таком случае работа электростатического поля сферы составит:

Поскольку работа поля не зависит от траектории перехода из положения 1 в положение 2 , то

Рис. 18. 1

242

Поскольку из симметрии задачи следует, что v1 = v3, то закон сохранения энергии запишется следующим образом:

Проекции внешних сил, действующих на шарики, на горизонтальную плоскость стола отсутствуют, поэтому сохраняется проекция импульса системы: 0 = mv2 – 2mv1.

Решая составленные уравнения, получаем

Пример 18.3. Шар радиусом R1 заряжен с объёмной плотностью заряда ρ. Полость радиусом R2 находится в шаре так, что ее центр

расположен на расстоянии L от центра шара (рис. 18.3). Найти напряженность электростатического поля в полости.

Пусть O1 — центр шара, O2 — центр полости, а | O1O2| = L. Рассмотрим систему двух заряженных тел: сплошной шар радиусом R1 с объёмной плотностью заряда ρ с центром в т. O1 и сплошной шар

243

радиусом R2 с объёмной плотностью заряда – ρ с центром в т. O2. Очевидно, что

напряженности полей, создаваемых шаром 1 и шаром 2. Учтем, что

Мы получили весьма интересный результат: внутри полости в равномерно заряженном по объему шаре напряженность электростатического поля не зависит от положения исследуемой точки полости, т.е. электростатическое поле однородно.

Пример 18.4. Рассмотрим решение обратной задачи электростатики, когда необходимо по известному закону Er(r) восстановить

расположение и значения электрических зарядов, создающих такое поле. Пусть задано сферически симметричное электростатическое поле такое, что

где a = const; b = const; a > 0; b > 0. Определите значение заряда Q, находящегося внутри сферы радиусом r.

Воспользуемся для решения задачи теоремой Гаусса. Из соотношения (15.26) следует, что заряд, расположенный внутри замкнутой поверхности S, можно найти так:

º º

Q = ε0 E d S .

S

244

Рассмотрим поток напряженности через поверхность сферы радиусом r :

Тогда соответствующий заряд, охваченный сферой, составит

Однако в полученном выводе имеется противоречие: q → 0 при r → × , в то время как q > 0 при любом r. Иными словами: совокупность концентрических гауссовых сфер охватывает все меньший заряд, хотя внутри каждой сферы заряд положителен, но сумма положительных охваченных зарядов должна возрастать при увеличении размера охватывающей поверхности.

Определим заряд dQ, расположенный в сферическом слое радиусом r и толщиной dr. Для этого вычтем из заряда, сосредоточенного внутри сферы радиусом r2 , заряд, расположенный внутри сферы радиусом r1 ,

где r2 = r1 + dr :

dQ = 4πε0(r22Er + dr – r21Er) = 4πε0 d(r2E) .

Последнее выражение представляет собой полный дифференциал функции r 2E ( r). Объемная плотность заряда в рассматриваемом сферическом слое

Зная заданную в условии функцию E ( r), можно найти ее производ-

Вот теперь мы можем найти полный заряд во всем пространстве:

×

Q = ∫ ρ4πr 2 dr = –b .

0

В то же время при r → 0 из (18.1) мы получаем, что q → b > 0. Таким образом, в центре системы расположен положительный точечный заряд, а вокруг него в пространстве распределен отрицательный заряд, равный ему по модулю. Данное распределении заряда соответствует модели атома.

245