Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

где e — заряд электрона; n — концентрация электронов; u — средняя скорость упорядоченного движения; α — угол между нормалью к поверхности dS и направлением движения носителей.

Модуль плотности тока по определению

Направление вектора плотности тока совпадает с направлением вектора средней скорости упорядоченного движения носителей:

Силу тока через элементарную поверхность dS можно записать так:

dI = j dS = j dS cos α = ºj dºS .

Сила тока в проводнике находится интегрированием последнего выражения по всему поперечному сечению проводника:

Единица измерения силы тока ампер (А) является одной из основных единиц измерения в СИ. Определение этой единицы измерения будет дано позже при рассмотрении взаимодействия двух параллельных проводников с током.

Линии, вдоль которых движутся носители зарядов в проводниках, называются линиями тока. Касательные к линиям тока совпа-

º

дают с направлением вектора j в точке касания. Если внутри проводника с током мысленно выделить трубку, боковая поверхность которой образована линиями тока, то носители зарядов не будут пересекать боковую поверхность трубки и не будут ни выходить из трубки наружу, ни входить в трубку извне (рис. 19.2).

Pассмотрим внутри проводника с током произвольную замкнутую поверхность S (рис. 19.3). Пусть jn — проекция вектора плот-

º

ности тока j на нормаль к элементу поверхности dS. Величина

dS

251

положительного заряда, уходящего из объема, ограниченного поверхностью S, за единицу времени, равна убыли заряда в этом объеме:

S

Последнее выражение называется уравнением непрерывности. Оно является следствием закона сохранения заряда.

В случае постоянных токов объемное распределение зарядов в проводнике не изменяется. Заряд, вошедший в единицу времени в выделенный объем, равен заряду, вышедшему из него за то же время, т.е. ∂q/∂t = 0. Уравнение непрерывности принимает вид:

S

Воспользовавшись теоремой Гаусса, можем записать jn dS =

S

º

= ∫ div j dV = 0 . Объем интегрирования V произволен и не равен

V

нулю. Отсюда следует, что

Это уравнение является наиболее общим выражением того факта, что постоянный ток не имеет истоков, т.е. что линии тока всегда либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. Электрическое поле постоянных токов, как и поле электростатическое, является потенци-

º

альным, поэтому вектор напряженности поля E может быть выра-

º

жен через градиент потенциала: E = – grad ϕ .

Поскольку распределение зарядов для постоянных токов стационарно, то их поле должно быть тождественно с электростатическим полем соответственно распределенных неподвижных зарядов.

19.3.Закон Ома. Сопротивление проводников

В1826 г. немецкий физик Г. Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока в однородном металлическом проводнике пропорциональна разности потенциалов на концах проводника:

252

Однородный проводник — проводник, в котором на носители действуют только силы электростатического происхождения. Величина R, входящая в (19.7), называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей измерения сопротивления служит ом (обозначается Ом), равный сопротивлению такого проводника, в котором при разности потенциалов 1 В существует ток силой 1 А.

Значение сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он изготовлен. Для однородного проводника длиной l с площадью поперечного сечения S

где ρ — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств материала. Этот коэффициент называется удельным электрическим сопротивлением вещества. В СИ значение ρ измеряется в омах на метр (Омæм).

Закон Ома можно записать в дифференциальной форме, установив таким образом связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Выделим мысленно в окрестностях некоторой точки внутри проводника элементарный цилиндрический объем (рис. 19.4) с образующими, параллельными вектору плотности

º

тока j в данной точке. Сила тока в цилиндре равна j dS ; разность потенциалов на торцах цилиндра равна E d l, где E — напряженность поля в данной точке. Электрическое сопротивление цилиндра

Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора напряженности электрического поля, поэтому

где γ — величина, называемая удельной электрической проводимо-

253

1результат с (17.25), можно сделать вывод,

обеспечивает перемещение носителей заряда.

Способность вещества проводить ток характеризуется его удельным сопротивлением ρ или электрической проводимостью γ. Значения этих величин определяются химической природой вещества и внешними условиями (в частности, температурой), при которых оно находится. Для большинства металлов удельное сопротивление растет с температурой приблизительно по линейному закону ρ = ρ0(1 + αt),

где ρ0 — удельное сопротивление при 0 °С; t — температура по шкале Цельсия; α — температурный коэффициент электрического

При низких температурах наблюдаются отклонения от этой закономерности (рис. 19.5). В большинстве случаев зависимость ρ от T имеет вид кривой 1. При этом при уменьшении температуры удельное сопротивление стремится к некоторому конечному значению ρост .

Значение ρост зависит от чистоты материала и остаточных механичес-

ких напряжений в образце. У абсолютно чистых металлов с идеально правильной кристаллической решеткой при абсолютном нуле ρ = 0.

У большой группы металлов и сплавов при температуре, примерно равной нескольким кельвинам, удельное сопротивление скачком обращается в нуль (кривая 2 на рис. 19.5). Это явление, обнаруженное в 1911 г. голландским физиком Х. Камерлинг–Оннесом, называется сверхпроводимостью. Каждый материал этой группы имеет свою критическую температуру Tк, при которой наступает

сверхпроводимость. Для создания условий сверхпроводимости проводники охлаждаются в жидком гелии при температуре 4 К. Такие сверхпроводящие системы являются очень дорогими и сложными устройствами, поэтому усилия ученых направлены на создание материалов, обладающих свойствами высокотемпературной сверхпроводимости.

254

19.4. Основные представления классической электронной теории электропроводности металлов

Электронная теория электропроводности металлов была впервые создана П. Друде в 1900 г. и получила дальнейшее развитие в работах Х. Лоренца. Существование тока в проводнике, сопровождающееся выделением тепла, в рамках классических представлений объясняется следующим образом. Свободные электроны ускоряются электрическим полем, которое имеется внутри проводника. Закон Ньютона для движения электрона имеет вид

где m, a, e — соответственно масса, ускорение и заряд электрона. На самом деле движение электрона очень сложно, поскольку

электроны находятся в тепловом хаотическом движении. Под влиянием внешнего электрического поля электроны получают одинаковое ускорение и приобретают дополнительную скорость в направлении поля. В результате возникает упорядоченное движение электронов, т. е. электрический ток. Упорядоченное движение электронов накладывается на их хаотическое тепловое движение, причем скорость хаотического движения электронов много больше скорости их упорядоченного движения (дрейфа). Оценки при температуре t = 0 °C и

плотности тока j = 1æ1011 А/м2 дают следующие значения средней скорости v теплового движения и средней скорости u упорядоченного движения электронов:

При своем движении электроны взаимодействуют один с другим и с атомами кристаллической решетки проводника. При взаимодействии с узлами кристаллической решетки электроны передают им часть своей энергии, приобретенной электронами под действием электрического поля. Допустим, что электрон ускоряется в течение времени τ, сталкивается с атомом и отдает ему всю приобретенную в электрическом поле кинетическую энергию. Затем он вновь ускоряется в течение времени τ и вновь сталкивается с атомом, отдавая ему свою энергию.

Определим путь, пройденный электроном в упорядоченном движении между двумя последовательными столкновениями:

где τ = λ / v. Здесь τ, λ и v — соответственно среднее время между столкновениями, средняя длина свободного пробега между столкновениями и средняя скорость теплового движения электронов.

255