Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Рис. 16. 5

Слой неполярного диэлектрика, помещенного во внешнее элект-

º

рическое поле напряженностью E , показан на рис. 16.5. Электрические моменты и оси всех диполей диэлектрика ориентируются одинаково — вдоль направления напряженности. Внешняя нормаль к границе диэлектрика составляет некоторый угол α с направлени-

º º

ями векторов E и P . Выделим в слое некоторый объем диэлектрика в виде косого цилиндра с площадью основания dS и длиной образующей l. Суммарный электрический момент диполей, попавших в этот объем, равен произведению модуля связанного заряда на поверхности диэлектрика qсвяз и плеча получившегося диполя l:

где Pn — проекция поляризованности на нормаль к границе диэлектрика. Сравнение (16.12) и (16.13) дает

Таким образом, поверхностная плотность связанных зарядов на границе диэлектрика с другой средой (с другим веществом) равна проекции поляризованности диэлектрика на нормаль к выбранной поверхности.

16.4.Теорема Гаусса для электростатического поля

вдиэлектриках

Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и связанными зарядами. Согласно принципу суперпозиции (15.9) напряженность поля в веществе равна геометрической

216

сумме напряженностей полей, созданных свободными и связанными зарядами:

Tеорема Гаусса (15.26) может быть применена для расчета электростатического поля в диэлектрической среде, если в правой части равенства рассматривать алгебраическую сумму всех свободных и связанных зарядов, охватываемых гауссовой поверхностью:

Использование полученного соотношения для расчета напряженности поля, создаваемого заданной системой свободных зарядов в диэлектрической среде, осложняется тем, что заранее не известно распределение связанных зарядов в поле. Поскольку молекулы диэлектрика электрически нейтральны, то вклад в заряд Qсвяз внесут только

те молекулы, диполи которых «перерезаются» гауссовой поверхностью. Для того, чтобы определить их число, рассмотрим однородный поляризованный диэлектрик, диполи которого ориентированы по

º

направлению E (рис. 16.6).

На рисунке указан фрагмент гауссовой поверхности. Допустим, что силовые линии электрического поля «выходят» из объема, ограниченного поверхностью. Следовательно, внутри этого объема располагаются отрицательные заряды диполей, «перерезанных» гауссовой поверхностью. Эти отрицательные заряды не скомпенсированы положительными зарядами диполей, так как последние находятся за пределами гауссовой поверхности. Алгебраическая сумма отрицательных зарядов «перерезанных» диполей определяет значение

–

l/2

l/2

Рис. 16. 6

217

Qсвяз, входящее в выражение (15.26). Анализируя положения различ-

ных диполей, нетрудно увидеть, что гауссова поверхность «перерезает» только те диполи, центры которых (показаны на рис. 16.6 точками) удалены от нее на расстояние не большее чем l / 2, где l — плечо диполя.

Выберем элемент гауссовой поверхности площадью dS и укажем

º

внешнюю нормаль к нему d S (рис. 16.6). Выделим некоторый объем диэлектрика в виде косого цилиндра с площадью основания

º

dS, образующая которого параллельна E . Пусть длина образующей равна плечу диполя l. Число диполей, находящихся в объеме выде-

ленного цилиндра, dN = nl dS cos ºE , dºS , где n — концентрация

В целом в объеме, ограниченном гауссовой поверхностью, находится связанный электрический заряд

С учетом полученного соотношения преобразуем выражение

i = 1

Введем еще одну физическую величину — электрическую

º

индукцию D (часто эту величину называют электрическим смещением):

º º º º º º º

D = ε0 E + P = ε0 E + ε0χe E = ε0(1 + χe ) E = ε0ε E , (16.16)

где ε = 1 + χe — относительная диэлектрическая проницаемость.

218

i = 1

Поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Поток вектора электрического смещения определяется только свободными зарядами, поэтому в таком виде теорему Гаусса удобно применять в диэлектрических средах.

При расчете напряженности электростатического поля в диэлектрической среде необходимо сначала определить модуль и направ-

º

ление вектора электрического смещения D (как это было сделано

º

в § 15.7 для вектора E ). Затем, пользуясь соотношением (16.16), необходимо определять значение и направление вектора напряжен-

º

ности E .

Рассмотрим пример 15.6, приведенный в § 15.7, и определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический заряд Q > 0 равномерно распределен по объему диэлектрического шара радиусом R, относительная диэлектрическая проницаемость которого равна ε. Повторяя рассуждения § 15.7, получаем

219

Графики полученных зависимостей Dr ( r ) и Er ( r ) приведены на рис. 16.7 и 16.8. Отметим, что зависимость Er ( r ) имеет разрыв на

поверхности шара (при r = R ), так как на этой поверхности находится связанный положительный заряд.

16.5. Условия на границе диэлектрических сред

Найдем соотношения между значениями напряженности и электрического смещения в двух граничащих диэлектрических средах. Для этого рассмотрим произвольную точку А на границе раздела двух сред 1 и 2 для случая ε2 < ε1 (рис. 16.9).

Проведем из точки А единичные векторы, направленные по каса-

Построим вблизи точки А замкнутый контур L в виде прямоугольника с размерами h × l, стороны которого попарно параллельны этим векторам. Из условия потенциальности электростатического поля следует, что циркуляция вектора напряженности электростати-

также стремятся к нулю. При этом верхняя и нижняя стороны кон-

220