Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

dS2

2

E E

S2

Рис. 15. 18

и S2 . Полный поток напряженности через всю поверхность S равен алгебраической сумме потоков через эти части:

º

Для всех элементов поверхности S1 углы между векторами E и

º

внешними нормалями n (при Q > 0) — тупые; для всех элементов поверхности S2 — острые. Следовательно,

Поскольку поверхности S1 и S2 видны из точки расположения заряда Q под одним и тем же телесным углом Ω0 , то согласно (15.22)

Обобщим полученные результаты. Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

n

201

Полученное утверждение называется теоремой Гаусса для электростатического поля в вакууме. Замкнутую поверхность S, фигурирующую в формулировке теоремы, часто называют гауссовой поверхностью. Отметим, что коэффициент пропорциональности между потоком напряженности и суммой зарядов, охваченных этой поверхностью, определен выбором системы единиц физических величин. В СИ этот коэффициент равен 1 / ε0. В других системах еди-

ниц он принимает другие значения.

15.7. Примеры использования теоремы Гаусса

Теорему Гаусса (15.26) удобно использовать для расчета напряженности электростатических полей, созданных симметричными системами зарядов. В этих случаях можно так выбрать гауссову поверхность, что поток вектора напряженности поля через нее легко выражается с помощью искомого значения модуля напряженности. Решение задачи о нахождении напряженности электростатического поля в какой-либо точке пространства осуществляется в несколько этапов.

1.Исходя из симметрии распределения заданной системы зарядов

впространстве, построить силовые линии поля, т.е. определить

º

направление вектора E в любой точке пространства.

2. Выбрать «удобную» замкнутую гауссову поверхность, отвечающую следующим требованиям:

а) она должна проходить через исследуемую точку; б) площадь поверхности должна быть известна;

в) модуль напряженности поля должен быть постоянен в точках всей поверхности или хотя бы ее части;

º

г) угол между E и внешней нормалью к поверхности должен быть известен в любой точке поверхности (это обеспечивается выполнением п. 1).

3. Получить выражение для потока напряженности поля через выбранную поверхность. Если выполнено условие п. 2в, то

SN

где Ei — постоянный модуль напряженности поля во всех точках части поверхности S i .

202

4.Определить алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью S.

5.Применить теорему, т.е. приравнять результаты, полученные в

пп.3 и 4, с учетом коэффициента пропорциональности.

Пример 15.6. Определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический заряд Q > 0 равномерно распределен в пространстве в виде шара радиусом R.

1. Исходя из условий симметричного распределения заряда, изобразим силовые линии его электрического поля. Поскольку данное распределение заряда обладает сферической симметрией, силовые линии поля будут исходить из центра шара по радиальным направлениям (на рис. 15.19 показаны только четыре силовые линии).

Кроме того, исходя из симметрии системы, можно утверждать, что модуль напряженности поля во всех точках, равноудаленных от центра шара, должен быть одинаковым. Это справедливо, например, для точек А и В (рис. 15.19), находящихся на одинаковом расстоянии от центра симметрии системы.

º

Cледовательно, направление и модуль вектора E будут зависеть только от радиальной координаты исследуемой точки пространства. Для задания такой координаты r выберем произвольную радиальную ось Or, выходящую из центра шара.

2. Определим напряженность поля в произвольной точке C, находящейся внутри шара на расстоянии r от его центра. Для этого в качестве гауссовой поверхности выберем сферическую поверхность радиусом r, центр которой совпадает с центром заряженного шара. На рис. 15.20 штриховой окружностью радиусом r показана линия пересечения этой поверхности с плоскостью чертежа.

Cледствием симметрии системы является равенство модуля вектора напряженности поля во всех точках поверхности, и равенство

º

угла между E и внешней нормалью к поверхности во всех точках поверхности нулю.

203

º

3. Определим поток вектора E через гауссову поверхность:

4. Определим алгебраическую сумму зарядов, охваченных поверхностью S. В данном случае электрический заряд, охваченный гауссовой поверхностью, — это часть всего заряда. Определим эту часть заряда через объемную плотность заряда и объем, ограниченный гауссовой поверхностью:

5. Применим теорему Гаусса, приравняв (15.27) и (15.28) с учетом коэффициента 1 / ε0 :

Применим эту процедуру для определения напряженности поля вне шарового скопления заряда. Выберем гауссову поверхность в виде сферы радиусом r > R, проходящей через произвольную точку D, находящуюся вне зарядов. На рис. 15.21 штриховой окружностью радиусом r показана линия пересечения этой поверхности с плоскостью чертежа.

º

Выражение для потока вектора E через гауссову поверхность сохранит прежний вид (15.27). Заряд, охваченный поверхностью, представляет собой полный заряд шара: Qохв = Q. Согласно теореме

204

Окончательный вид зависимости модуля напряженности от координаты r можно представить так:

При построении графической зависимости E(r) (рис. 15.22) обратим внимание на то, что выражения (15.29) и (15.30) дают одинаковые значения модуля напряженности поля при r = R:

Пример 15.7. Определим напряженность электростатического поля во всех точках пространства, если электрический заряд равномерно распределен с поверхностной плотностью σ > 0 по поверхности весьма длинного цилиндра с радиусом основания R.

1. Определим из условий симметрии и изобразим графически линии напряженности электрического поля. Поскольку данное распределение заряда обладает осевой симметрией, силовые линии поля (если поле существует) будут исходить из точек оси цилиндра по радиальным направлениям (на рис. 15.23 показаны четыре силовые линии электрического поля).

Вследствие осевой симметрии системы, модуль напряженности

205