Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

При рассмотрении поля, созданного непрерывно распределенным в пространстве зарядом, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1)выделить в объекте элемент заряда d Q, который в условиях данной задачи можно считать точечным;

2)выразить потенциал d ϕ поля этого заряда в рассматриваемой точке;

3) определить потенциал в заданной точке пространства:

n

ϕ = ∑ ϕi или ϕ = ∫ dϕ .

15.5. Связь напряженности и потенциала. Градиент скалярного поля

Выясним физический смысл взаимосвязи напряженности (силовой характеристики электростатического поля) и потенциала (энергетической характеристики). Соотношение

позволяет по заданной зависимости напряженности произвольной точки поля от ее координат найти зависимость потенциала этой точки от координат и, как следствие, рассчитать потенциал поля в любой точке. При этом потенциал произвольной точки поля определяется напряженностью поля на всем пути от этой точки до точки, где значение потенциала условно принято за нуль. Данное соотношение носит название интегральной связи напряженности и потенциала электростатического поля.

196

Отсюда следует, что

Последнее равенство можно записать иначе — в операторной форме:

Гамильтона.

Выражения (15.18) или (15.19) определяют дифференциальную связь напряженности и потенциала электростатического поля. Они позволяют по известной зависимости потенциала от координат определить зависимость напряженности поля от координат и найти напряженность поля в любой точке. Поскольку градиент скалярной функции — это вектор, направленный в сторону ее наибольшего возрастания, то из (15.19) следует, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Поэтому и силовые линии поля направлены в сторону убывания потенциала.

Если известны значения потенциала в различных точках пространства, то через точки с одинаковыми значениями потенциала можно провести поверхности, которые называются эквипотенциальными. Графически представляя электростатическое поле на плоском листе бумаги, будем изображать линии пересечения этих поверхностей с плоскостью листа в виде эквипотенциальных линий (эквипотенциалей). Докажем, что силовые линии перпендикулярны эквипотенциалям.

направлен вдоль эквипотенциали. Равенство скалярного произведе-

тельно, соотношение (15.19) позволяет по заданному распределению потенциала поля в пространстве восстановить картину его силовых линий (рис. 15.14).

197

15.6.Теорема Гаусса для электростатического поля

ввакууме

Ранее были введены две физические величины, характеризующие электрическое поле, — напряженность и потенциал. Принцип суперпозиции (15.9) и соотношение (15.17) позволяют рассчитать эти величины для заданной системы зарядов в пространстве независимо одну от другой, а интегральная и дифференциальная связь между ними (15.16) и (15.18) дают возможность определить одну из величин, зная другую. Однако практическое вычисление интегралов (15.9) и (15.16) может быть весьма затруднительным.

Рассмотрим иной метод определения напряженности электростатического поля — метод, основанный на использовании теоремы Гаусса.

Для рассмотрения этой теоремы введем понятие потока вектора напряженности. Проведем в электрическом поле произвольную поверхность площадью S (рис. 15.15). Назовем элементарным потоком вектора напряженности электростатического поля через малый участок (элемент) поверхности d S величину

198

Поток вектора напряженности электростатического поля через всю поверхность S находится как алгебраическая сумма потоков сквозь все малые участки этой поверхности:

SS

При вычислениях по формуле (15.21) договоримся направлять все

º

векторы n в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S. Например, для замкнутой поверхности S в дальнейшем будем счи-

º

тать векторы n внешними нормалями к поверхности, т.е. направленными из области, ограниченной этой поверхностью.

Из (15.21) следует, что Ф = 0, если во всех точках поверхности S

º

силовые линии поля перпендикулярны векторам n , т.е. «скользят» по поверхности. В то же время поток максимален, если поверхность S расположена перпендикулярно силовым линиям в каждой точке пространства. Таким образом, поток вектора напряженности через поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих эту поверхность.

Вспомним понятие телесного угла. Это часть пространства, ограниченная прямыми, проведенными из одной точки (вершины угла) ко всем точкам замкнутой кривой (рис. 15.16). Мерой телесного угла является отношение площади элемента d Sn , вырезаемого телесным

углом на сфере радиусом r с центром в вершине угла, к квадрату радиуса:

Единицей телесного угла в СИ служит угол, опирающийся на сферу

радиусом 1 м и вырезающий на ней элемент площадью 1 м2. Такой телесный угол равен 1 стерадиану (обозначается 1 ср). Поскольку пло-

Рис. 15. 16

Рис. 15. 17

199

щадь поверхности всей сферы равна 4πr 2, то телесный угол, опирающийся на всю сферу, равен 4π ср.

Рассмотрим точечный заряд Q, охваченный произвольной замкнутой поверхностью (рис. 15.17).

Выделим на этой поверхности элемент площадью d S, «вырезанный» из нее телесным углом dΩ с вершиной в заряде. Элементарный поток вектора напряженности поля точечного заряда через элемент d S согласно (15.20) в СИ запишем следующим образом:

Полный поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

Интегрирование производится по замкнутой поверхности. Если произвольная замкнутая поверхность охватывает точечные заряды Q1, Q2, …, Qn , то можно составить систему уравнений:

…

º

где E i — напряженность поля каждого из зарядов. Складывая уравнения приведенной выше системы, получаем:

Итак, если электрические заряды находятся внутри замкнутой поверхности, то поток вектора напряженности через эту поверхность пропорционален алгебраической сумме этих зарядов.

Pассмотрим теперь точечный заряд Q > 0, расположенный вне произвольной замкнутой поверхности (рис. 15.18).

В этом случае касательная коническая поверхность с вершиной в точке расположения заряда разбивает поверхность S на две части: S1

200