Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

–	l	+
	p = q l +q
–q

а)

–q	+q	E–
–	+
l		r
	б )
Рис. 15. 7

EA E+

Рассмотрим применение этого принципа для расчета напряженности поля системы дискретно и непрерывно распределенных зарядов.

Пример 15.2. Для электрического диполя (рис. 15.7, а) введем

электрического дипольного момента º º

понятие вектора : p = q l . Эта величина определяется произведением положительного заряда

º º

диполя q на плечо диполя l . Здесь l — вектор, направленный от отрицательного заряда диполя к положительному, причем l — расстояние между зарядами. Для расчета модуля напряженности поля в любой точке А на оси диполя (рис. 15.7, б) воспользуемся принципом суперпозиции:

;

= E

– E

= kq -----

– ------------------- .

–

r 2

(r + l) 2

При условии r >> l последнее равенство приводится к виду EA =

Поскольку

этом примере E

> E

, то

= kq-----

----- .

–

r 3

= 2k

ÊÊ E

ÊÊ p

, поэтому

-----

r 3

Расчет напряженности поля в точках, лежащих на серединном перпендикуляре к оси диполя (рис. 15.8), при том же условии r >> l дает другой результат:

α = E

–

sin ---- ≈ E

--- = k

------

--- =

k ----- .

r 2 r

r 3

–q –

+ +q

E–

dEz

E+

dl, dQ

Рис. 15. 8

Рис. 15. 9

191

	º
º	p	º	º
Однако ED	≠ k -----	, так как ED	↑↓ p .
	r 3

Пример 15.3. Определим напряженность поля, созданного электрическим зарядом Q, непрерывно распределенным по однородному проволочному кольцу радиусом R, на оси кольца в точке А, удаленной на расстояние z от плоскости расположения кольца (рис. 15.9).

Разобьем кольцо на элементарные отрезки длиной d l. Тогда на каждом таком элементе кольца будет находиться элементарный

заряд dQ = τ d l =

dl . Этот электрический заряд создает в точке А

----------

2πR

электрическое поле

напряженностью

d E

, причем

dE =

k -------

r 2

= k

-------------------

. Вектор d E

показан на рис. 15.9. Поскольку EA

= ∫ d E ,

2 + z2

то из условия симметрии очевидно, что

EA = ∫ dEz = ∫ dE cos α

= ∫ dE --- = ∫ dE ------------------------ .

2 + z2

Окончательно получаем:

2πR

= ∫ k

.EA= ∫ k -------------------

---------------------

---------- -------------------------------- dl =

k-------------------------------- .

R2 + z2 R 2+ z2

2πR

2 3 ⁄ 2

+ z

15.4.Работа сил электростатического поля. Разность потенциалов. Потенциал

Силы электростатического взаимодействия являются центральными, а, следовательно, консервативными. Таким образом, электростатическое поле является потенциальным. Определим работу сил электростатического поля, созданного зарядом Q1, по перемещению

точечного заряда Q2 из точки 1 в точку 2 (рис. 15.10).

Элементарная работа сил потенциального поля по перемещению

	º	º		º	º
заряда на расстояние d l :	dA = F	d l	= Q	2E dl cos ( E ,	d l	) =
= Q2E dr . Тогда

192

r2	Q1		1			1
A = Q2 ∫E dr = Q2 ∫ k	------		----		–	----	. (15.10)
	r	2	dr = kQ1Q2 r	1		r
r1						2

Если заряды одноименны, то поле совершает положительную работу по их удалению одного от другого и отрицательную работу по их сближению.

Соотношение (15.10) показывает, что работа сил электростатического поля по перемещению заряда не зависит от формы траектории движения заряда, а определяется только положением начальной и конечной точек траектории. Итак, кулоновские силы консервативны, поэтому циркуляция напряженности электростатического

º º

поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю: E d l = 0.

Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы электростатическое поле было потенциальным. Тогда справедлива связь работы консервативной силы и изменения потенциальной энергии, т.е. работа сил электростатического поля равна убыли потенциальной энергии:

dA = – dWпот A = W1 – W2 .

(15.11)

Рассмотрим отношение работы поля по перемещению пробного заряда из одной точки пространства в другую к величине переносимого заряда:

A12		W1 – W2	2
	=			(15.12)
--------		---------------------- = ∫E dr .
Q2		Q2	1

Поскольку полученное отношение не зависит от переносимого заряда и траектории его перемещения, то данная величина может быть принята в качестве характеристики электростатического поля.

Разностью потенциалов между двумя точками электростатического поля называется отношение работы сил поля по перемещению

	1			E
	dr			E
	dr
	r1
Q1	Q2	dl
Q1		dl
		r	2	2
			2

Рис. 15. 10

193

пробного электрического заряда из одной точки в другую к значению этого заряда:

ϕ		– ϕ		A12	W1 – W2
	1		2	= --------	= ---------------------- .
				Q2	Q2

С учетом (15.12) и (15.13) получим

2	º	º	r2
ϕ1 – ϕ2 = ∫	E	d l =	∫ E dr,
1			r1

(15.13)

(15.14)

A12 = (ϕ1 – ϕ2 )Q2 .

(15.15)

Введем теперь понятие потенциала точки электростатического поля. Из (15.13) следует, что ϕ1 = W1 ⁄ Q2 ; ϕ2 = W2 ⁄ Q2 .

Потенциалом точки электростатического поля называется энергетическая характеристика поля, равная отношению потенциальной энергии пробного электрического заряда, помещенного в данную точку поля, к значению этого заряда.

Ранее было отмечено, что потенциальная энергия — физическая величина, которая определена с точностью до некоторого произвольного значения. Следовательно, потенциал электрического поля также определен с точностью до произвольного значения, поэтому в любой точке пространства можно принять его значение, в частности, равным нулю. Если значение потенциальной энергии и соответственно потенциала в точке 2 принять равными нулю, то потенциал точки 1 согласно (15.14)

2	º	º
ϕ1 = ∫	E	d l ; ( ϕ2	= 0).	(15.16)
1

Таким образом, потенциал любой точки электростатического поля численно равен удельной работе (работе, отнесенной к значению заряда), совершаемой силами поля при перемещении пробного заряда из этой точки в ту точку, в которой потенциал поля условно принят равным нулю. Выбор точки с нулевым потенциалом произволен и определяется удобством решения каждой конкретной задачи. Рассмотрим это на некоторых примерах.

Пример 15.4. Определим потенциал произвольной точки пространства, удаленной на расстояние r от точечного заряда Q (рис. 15.11).

194

Выберем точку, потенциал которой примем равным нулю. Пусть это будет точка, бесконечно удаленная от заряда Q. Поскольку работа по переносу пробного заряда из данной точки в бесконечность не зависит от формы траектории движения, то рассмотрим

такое движение пробного заряда, при котором	º	º
	E	ÊÊd l	(т.е. вдоль

прямой, совпадающей с осью Or).

Тогда при условии ϕ(×) = 0 получаем зависимость потенциала

2	º	º	×
поля точечного заряда от расстояния ϕ = ∫	E	d l	= ∫ E dr =
1			r

×Q

=∫ k -----2

	Q	. График функции ϕ(r) показан на рис. 15.12.
dr = k	---
	r

Пример 15.5. Рассмотрим электростатическое поле, созданное системой точечных зарядов q1, q2, …, qn . Тогда потенциал произвольной

2 º º

точки пространствa ϕ = ∫ E d l , при этом ϕ2 = 0. Вектор напряжен-

ности поля E в данной точке рассчитываем по принципу суперпозиции (15.9) и находим искомый потенциал как алгебраическую сумму потен-

2	n	º	º	n 2(ϕ2 = 0)		º	º	n
циалов: ϕ = ∫	∑	Ei d l		= ∑	∫	E	d l	= ∑ ϕi .
1	i = 1			i = 1	1			i = 1

Сформулируем полученный вывод: потенциал поля, созданного в данной точке системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности, т.е.

			n
			ϕ = ∑ ϕi	(15.17)
			i = 1
Q
	r
O		r		1
				~
	Рис. 15. 11			~	r
	Рис. 15. 11
			Рис. 15. 12 0
			Рис. 15. 12 0			r

195

Смотрите также:

2019 ESC acute pulmonaryembolism
FE34kIHFh8
Арбитражный процесс_билеты
ГЛАВА19 учебник
Електронний довідник у С++
К вопросу о разграничении понятий функциональный стиль и орфоэпический стиль в свете современных социолингвистических учений
Карбонильные соединения и карбоновые кислоты
Конвенционализм и инструментализм в свете теории научно-исследовательских программ Имре Лакатоса
Лизинговые операции коммерческих банков
Линейные преобразования и их свойства