Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

В изохорном процессе объем газа не изменяется, поэтому p dV = 0 и δQ = dU. Получаем выражение для молярной теплоемкости идеального газа в изохорном процессе, которую обозначим cV :

В изобарном процессе изменения объема газ совершает работу и тогда выражение для молярной теплоемкости идеального газа в изобарном процессе, которую обозначим cp , приобретает вид:

Воспользуемся теперь уравнением Менделеева—Клапейрона для 1 моля газа (8.8), выразив элементарную работу газа в изобарном процессе как p dV = R dT. Тогда

которое было впервые получено Р. Майером в 1842 г. и поэтому называется уравнением Майера.

В изотермическом процессе газ не изменяет свою температуру, поэтому dT = 0. Однако газ расширяется, следовательно, он совершает работу: δA ≠ 0. Тогда молярная теплоемкость идеального газа в изотермическом процессе

Во всех рассмотренных изопроцессах молярные теплоемкости идеального газа постоянны и зависят только от внутреннего строения его молекул. Процесс, в котором теплоемкость вещества не изменяется, называется политропным. Получим уравнение такого процесса для идеального газа. Используем выражение первого начала термодинамики:

гдеν = m ⁄ μ .

131

Из уравнения (8.9) следует, что p dV + V dp = νR dT . Тогда

или

p dV(cm – cV – R) = V dp(cV – cm) . Воспользуемся (10.11) и последнее выражение перепишем в виде

p dV(cm – cp) = V dp(cV – cm) .

Полученное дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных:

Обозначим

Полученное соотношение является уравнением политропного процесса, в котором теплоемкость газа остается постоянной величиной. Показатель n, определяемый по (10.12), называется показателем политропы для данного газа. Если из (10.12) выразить молярную теплоемкость газа cm в политропном процессе, то найдем:

Формальная зависимость теплоемкости газа в политропном процессе от показателя политропы изображен на рис. 10.3. Нетрудно

видеть, что при n = 0 из уравнения (10.13) следует pV n = pV 0 = p = = const, т.е. уравнение изобарного процесса. В соответствии с (10.14),

cm = cp. При n = 1 из уравнения (10.13) получаем pV n = pV 1= pV = const,

т.е. уравнение изотермического процесса. В этом случае, в соответствии с (10.14), cm → ±×. При n = ±× из уравнения (10.13), извлекая корень

п-й степени, можно получить np V = V = const , т.е. уравнение изо-

132

cm

cp

cV

Рис. 10. 3

хорного процесса. Согласно (10.14), cm = cV . Следовательно, все изопроцессы идеального газа — частные случаи политропного процесса.

Кроме известных изопроцессов можно ввести понятие адиабатического процесса. Адиабатическим (или адиабатным) процессом

называют процесс, который проходит без теплообмена с окружающей средой (δQ = 0). Тогда в этом процессе cm = 0, и из (10.14) можно

получить, что это возможно при n = γ. Уравнение адиабатного про-

цесса имеет вид: pV γ = const. Это уравнение впервые было получено французским математиком и механиком С. Пуассоном и поэтому называется уравнением Пуассона. Показатель степени в этом уравнении называется показателем Пуассона для идеального газа. Нетрудно увидеть, что, согласно (10.8) и (10.10), из (10.15) следует

10.4.Анализ изопроцессов идеального газа

спомощью первого начала термодинамики

Рассмотрим описание различных изопроцессов идеального газа с помощью первого начала термодинамики.

Изохорный процесс. Поскольку в этом процессе V = const, то газ не совершает никакой работы над внешними телами: AV = 0. В соот-

ветствии с первым началом термодинамики QV = U . Используя

уравнение Клапейрона — Менделеева, можно выразить изменение внутренней энергии идеального газа следующим образом:

i m i

U = ---- --- R T = ---- V p. 2 μ 2

133

Изобарный процесс. В данном процессе происходит изменение объема газа, поэтому он совершает работу над внешними силами.

выражения следует физический смысл универсальной газовой постоянной: она численно равна работе изобарного расширения 1 моля идеального газа при повышении его температуры на 1 К. Уравнение первого начала термодинамики для изобарного процесса запишем следующим образом: δQp = dU + δAp , или Qp = U + Ap . Исполь-

зуя уравнение Клапейрона — Менделеева, выражаем изменение внутренней энергии идеального газа следующим образом:

i m i

U = ---- --- R T = ---- p V . 2 μ 2

Подводимое к газу количество теплоты определяется с помощью (10.10) так:

Изотермический процесс. Поскольку в этом процессе T = const, то внутренняя энергия идеального газа не изменяется: U = 0. Уравнение первого начала термодинамики для такого процесса запишем в виде δQT = δAT , или QT = AT . Следовательно, при подведении к

газу теплоты (QT > 0), он расширяется, совершая положительную

работу против внешних сил (A > 0). Получим выражение для расчета работы газа в изотермическом процессе, проинтегрировав (10.6):

Поскольку в данном процессе теплоемкость бесконечна, то для расчета подведенного к газу количества теплоты можно использовать лишь выражение первого начала термодинамики. Основной вывод при анализе превращения энергии в изотермическом процессе: получаемая от внешней среды теплота идет не на увеличение температуры газа, а возвращается обратно в среду в виде механической работы.

Адиабатный процесс. В таком процессе газ не получает теплоты из внешней среды: δQад = 0 , поэтому 0 = dU + δAад . Поэтому при

расширении газа, когда он совершает положительную работу против внешних сил (A > 0), изменение внутренней энергии газа отрицательно ( U < 0). Следовательно, согласно (10.5), температура газа

134

p

Адиабата

Изотерма

Рис. 10. 4

уменьшается. Поэтому на диаграмме ( p,V ) кривая адиабатического расширения газа (адиабата) будет располагаться ниже кривой изотермического расширения (изотермы), проведенной из той же начальной точки (рис. 10.4). Таким образом, адиабата на диаграмме ( p,V ) проходит круче, чем изотерма. В соответствии с (10.7) cад = 0, а поэтому

расчет совершенной газом работы можно провести в соответствии с первым началом термодинамики: Aад = – U. Однако можно полу-

чить выражение для расчета работы в адиабатном процессе и с помощью соотношения (10.6). Для этого воспользуемся уравнением Пуас-

сона pV γ = p1V1γ = const . Тогда

Поскольку γ > 1, то последнее выражение удобно переписать в виде

Отметим, что в соответствии с (10.16) показатель адиабаты может принимать следующие значения:

γ= 5 ⁄ 3 ≈ 1,67 для одноатомного газа (i = 3);

γ= 7 ⁄ 5 = 1,4 для двухатомного газа (i = 5);

γ= 4 ⁄ 3 ≈ 1,33 для трехатомного газа (i = 6).

Реальный адиабатный процесс должен происходить, с одной стороны, достаточно быстро, чтобы в системе не успел произойти теплообмен с окружающей средой, но, с другой стороны, достаточно медленно, чтобы процесс оставался равновесным.

135