Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

9.4. Барометрическая формула

Распределение Максвелла — это распределение молекул по скоростям, или по кинетическим энергиям. Действительно, в показателе экспоненты в (9.11) стоит отношение кинетической энергии молекулы к kT. Произведение постоянной Больцмана и температуры характеризует среднюю кинетическую энергию движения молекул, т.е. энергию их теплового движения.

Установим теперь распределение молекул по потенциальным энергиям. Л. Больцман получил барометрическую формулу — зависимость давления газа от высоты в потенциальном поле тяжести Земли.

Рассмотрим равновесие некоторого объема газа, находящегося на высоте h от поверхности Земли, уровень которой выберем за условный ноль отсчета потенциальной энергии (рис. 9.6). Атмосферное давление на данном уровне обозначим как p0. Пусть объем газа — это цилиндр

высотой dh. На рис. 9.6 указаны давления, действующие на рассмотренный газовый цилиндр со стороны выше- и нижележащих слоев атмосферы. Поскольку столбик газа находится в равновесии, то

(p + d p)S + dmg – pS = 0 ,

где S — площадь основания столбика; d m — его масса.

Выразив массу объема газа через его плотность как d m = ρS dh,

Плотность газа, в соответствии с уравнением состояния идеаль-

Знак «—» в этом уравнении показывает, что давление газа уменьшается с ростом высоты слоя от поверхности Земли. Разделим пере-

p+dp

p

T1 < T2 < T3

121

Так как μ / R = m0 / k, а m0gh = Wп , то последнее выражение перепишем следующим образом:

Полученное соотношение и есть барометрическая формула, которая определяет зависимость давления идеального газа от потенциальной энергии его молекул (от высоты). Поскольку p = nkT, то ее можно записать в виде

Уравнение (9.19) — это распределение концентрации молекул в зависимости от их потенциальной энергии. Из него следует, что наибольшая концентрация молекул там, где Wп = 0, т.е. вблизи

поверхности Земли. График зависимости (9.18) представлен на рис. 9.7.

Справедливость установленного Л. Больцманом закона для земной атмосферы не могла быть проверена в XIX в.: для изменения

над уровнем Земли на высоту примерно 9 км.

9.5. Распределение энергии молекулы по степеням свободы

Механическая энергия любой молекулы идеального газа — это кинетическая энергия ее движения, так как потенциальное взаимодействие между такими молекулами отсутствует. Энергия движения молекулы определяется, в свою очередь, энергией ее поступательного движения, энергией ее вращения и энергией колебания атомов в молекуле:

Wк = Wпост + Wвращ + Wкол .

122

получено для системы молекул, которые представлялись в виде шариков, упруго соударяющихся один с другим. Такие шарики

двигались поступательно вдоль любого из направлений трехмерной декартовой системы координат. Положение такой молекулы в пространстве определяется набором трех независимых переменных — координат центра масс шара x, y, z (рис. 9.8). Можно сказать, что шарообразная молекула способна совершать в пространстве три независимых перемещения. Вращением шара вокруг любого из его диаметров при этом можно пренебречь, так как поворот шара вокруг диаметра не изменяет его положения в пространстве.

Минимальное число независимых переменных, однозначно определяющих положение тела в пространстве (или минимальное число независимых перемещений тела в пространстве), называется числом степеней свободы тела. Из приведенных рассуждений ясно, что число степеней свободы шарообразной молекулы равно 3. В дальнейшем будем обозначать число степеней свободы через i. Ясно, что шарообразной молекулу можно считать, если она состоит из одного атома (He, Ar, Ne). Таким образом, для одноатомной молекулы i = 3.

Л. Больцман предположил, что кинетическая энергия молекулы равномерно распределена по степеням ее свободы, т.е. каждому независимому перемещению молекулы соответствует одна и та же энер-

а i = 3, то можно сделать вывод, что каждому из трех поступатель-

о равномерном распределении энергии молекул по степеням свободы звучит следующим образом: если система молекул находится в тепловом равновесии при температуре Т, то средняя кинетическая энергия молекул равномерно распределена по степеням свободы, при-

Какие выводы будут следовать из этого закона для неодноатомных молекул? Рассмотрим двухатомную молекулу (H2, O2, CO, N2),

123

выбрав оси координат таким образом, чтобы одна из осей совпадала с продольной осью молекулы (рис. 9.9). Двухатомная молекула может совершать пять независимых перемещений в пространстве: три поступательных вдоль осей координат и два вращательных вокруг двух осей. Поворот молекулы вокруг третьей оси координат (оси ОХ на рис. 9.9) не приводит к изменению ее положения в пространстве. Таким образом, у двухатомной молекулы три поступательных степени свободы и две вращательных, в целом i = 5. Строение молекулы водяного пара (H2O) таково, что ее поведение в пространстве

соответствует поведению двухатомных молекул, поэтому для водяного пара i = 5.

Если рассмотреть трехатомную молекулу (рис. 9.10), то нетрудно установить, что у нее будет три поступательных степени свободы и три вращательных, в целом i = 6.

124

Г л а в а 10

ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

В основе термодинамического метода лежит несколько фундаментальных законов (начал), которые установлены на основании обобщения большой совокупности опытных фактов. Термодинамический метод основан на анализе превращения энергии в системе. При этом в термодинамике не рассматривается внутреннее строение систем и характер движения частиц в этих системах. Выводы термодинамики имеют весьма общий характер. Законы термодинамики можно применить к электрическим и магнитным явлениям, процессам теплового излучения, радиоактивного распада и т.п. Нет такой области физики, химии и биологии, в которой нельзя было бы пользоваться термодинамическим методом. Однако при этом термодинамика не вникает в процессы, происходящие внутри вещества, не рассматривает механизмы этих процессов.

10.1. Внутренняя энергия системы молекул. Работа в термодинамике. Количество теплоты

Полная энергия W термодинамической системы включает в себя кинетическую энергию Wксист механического движения системы как

целого, потенциальную энергию Wпвнеш системы во внешнем потен-

циальном поле и внутреннюю энергию U — энергию всех видов движения и взаимодействия частей системы, зависящую только от внутреннего строения системы. Таким образом,

W = Wксист + Wпвнеш + U.

Вдальнейшем будем рассматривать термодинамические системы, которые макроскопически неподвижны и не находятся во внешних полях. Для таких систем полная и внутренняя энергия совпадают.

Втермодинамике под внутренней энергией понимают лишь кинетическую энергию теплового движения молекул, потенциальную энергию взаимодействия атомов в молекуле, а также потенциальную энергию взаимодействия молекул между собой.

Внутренняя энергия является однозначной функцией состояния термодинамической системы. Это означает, что внутренняя энергия

125