Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Если при измерении физической величины a возможны k исходов:

свероятностью P1 в опыте получается a = a1, с вероятностью P2 a =

=a2 и т.д., то среднее значение величины a определяется выражением

a = a1P1 + a2P2 + … + akPk ,

где P1 + P2 + … + Pk = 1 .

Среднее значение функции измеряемой величины a вычисляется следующим образом:

ϕ(a) = ϕ(a1 )P1 + ϕ(a2 )P2 + … + ϕ(ak)Pk .

Объектом статистической физики является система, содержащая очень большое число N молекул или атомов.

Пусть каждый из элементов системы имеет определенное значение какого-либо физического параметра z. Функцией распределения f (z) элементов системы по параметру z называется отношение

где dN — число частиц, у которых физический параметр лежит в пределах от z до z + dz; N — полное число частиц ансамбля.

Среднее значение параметра z по системе определяется формулой

где z1 и z2 — минимальное и максимальное значения параметра в системе.

Среднее значение ϕ (z) произвольной функции параметра z :

z1

9.2.Распределение молекул по скоростям

Рассмотрим поведение молекул идеального газа в замкнутом объеме V. Если число частиц (молекул) достаточно велико, то любая молекула с одинаковой вероятностью может быть найдена в любом месте объема V. Выделим внутри объема V бесконечно малый элемент объемом dV. Обозначим вероятность того, что молекула находится внутри этого элемента следующим образом: dP = G (x, y, z) dV. Функция G(x, y, z) называется плотностью вероятности обнаружения молекулы. Чтобы определить вероятность нахождения молекулы

111

в объеме V, необходимо просуммировать (проинтегрировать) элементарные вероятности по этому объему:

P = ∫ dP = ∫ G(x, y, z) dV .

VV

Поскольку вероятность того, что молекулу можно обнаружить во всем объеме V равна 1 (она обязательно присутствует в этом объеме), то последнее равенство приобретает вид:

Выражение (9.4) называется условием нормировки плотности вероятности.

Можно ли из равновероятного распределения молекул в пространстве сделать вывод о равновероятном распределении значений их скоростей? Одинаковы ли вероятности обнаружения молекул с различными скоростями? Нет. В рассматриваемом объеме всегда число молекул с большими и малыми скоростями относительно невелико. Молекулы изменяют свои скорости при взаимодействиях, происходящих по законам абсолютно упругого соударения. При таких соударениях число молекул, увеличивающих свои скорости всегда равно числу молекул, уменьшающих свои скорости, так как при абсолютно упругих соударениях одинаковые молекулы обмениваются скоростями. В этом состоит принцип детального равновесия системы молекул: число «прямых» ударов (выводящих молекулу в диапазон бoльших значений скоростей) равно числу «обратных» ударов (выводящих молекулу в диапазон меньших значений скоростей). Поставим своей задачей определить распределение молекул по скоростям движения. Такая задача была решена Д. Максвеллом, а поэтому полученный закон называется максвелловским распределением молекул по скоростям.

Обозначим вероятность того, что выбранная молекула имеет значение модуля проекции скорости на какое-либо направление ОХ в

112

некоторая постоянная величина. Условие нормировки такой плотности вероятности запишем в виде:

–×

Пределы интегрирования в (9.5) определяются исходя из того, что, согласно классической физике, скорости всех молекул в некотором объеме могут быть любыми как по модулю, так и по направлению. Интеграл (9.5) называется интегралом Пуассона:

Из последнего выражения получаем, что A = α ⁄ π .

Поскольку все направления движения молекул (в трехмерной системе координат это ОХ, ОY и OZ ) одинаковы, то для плотностей вероятностей по всем направлениям составим выражения:

Если модуль скорости молекулы равен v, то это значит, что проекции ее скорости одновременно принимают определенные значения vx, vy, vz . Следовательно, плотность вероятности обнаружения моле-

кулы, проекции скорости которой лежат в интервалах vx ÷ vx + vx, vy ÷ vy + vy , vz ÷ vz + vz, можно по свойству умножения вероятностей найти таким образом:

Рассмотрим так называемое «пространство скоростей» (рис. 9.1). В нем по осям координат вместо привычных пространственных координат x, y, z откладываются значения проекций скоростей молекул на выбранные направления. В пространстве скоростей поведение

молекулы описывается не положением радиуса-вектора ºr , а поло-

º

жением вектора скорости v . Все молекулы, проекции скоростей

113

у которых концы лежат внутри объема Vv . Этот объем образует

сферический слой (на рис. 9.1 сечение этого слоя показано штриховкой). Слой имеет радиус v и толщину v. Следовательно, объем такого слоя

Vv = 4πv2 v.

В результате вероятность того, что молекула имеет скорость в диапазоне v ÷ v + v, определяется следующим образом (произведение плотности вероятности на объем в пространстве скоростей):

Общее число таких молекул в единице объема может быть найдено умножением концентрации молекул n (число молекул в единице

Теперь найдем α.

Хаотичные соударения молекул со стенками сосуда создают давление газа. Пусть молекула летит по направлению оси ОХ перпендикулярно стенке. При абсолютно упругом соударении со стенкой сосуда молекула, имеющая проекцию скорости vx, изменяет свой

Давление газа определится числом ударов молекул на выделенный

114

элемент стенки площадью S в единицу времени. Это число Z равно

= nvxS . Полученное выражение необходимо еще умножить на вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале vx ÷ vx + vx. Эта вероятность равна Fx vx. Итак,

стенке за единицу времени, определится как º . Давление p Z

газа численно равно суммарному импульсу, передаваемому единице площади стенки за единицу времени:

Выражение (9.7) позволяет найти давление, которое оказывают на стенки сосуда только молекулы, летящие в положительном направлении оси ОХ. Чтобы найти полное давление газа, необходимо проинтегрировать полученное выражение по всем неотрицательным значениям проекций скоростей:

1 π

=---- ------- . Поэтому 4 α 3

115