Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Г л а в а 4

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассматривая вращательное движение твердого тела, состоящего из совокупности материальных точек, необходимо сделать важные замечания, которые свидетельствуют о сложности использования ранее полученных динамических уравнений для описания движения тела. Во-первых, для описания вращательного движения совокупности материальных точек весьма сложно использовать систему уравнений второго закона Ньютона, записанных в виде (2.2). При вращении точек вокруг какой-либо оси ускорения всех точек тела отличаются и по направлению, и по модулю. Во-вторых, в этом случае сложно использовать и систему динамических уравнений в виде (2.10), т.е. второй закон Ньютона, записанный в терминологии «импульсов». При вращении точек твердого тела вокруг оси даже с постоянной угловой скоростью линейные скорости точек, а значит, и импульсы, различаются и по модулю, и по направлению. Введем новые физические величины, характеризующие вращение твердого тела.

4.1. Момент импульса точки относительно полюса

Рассмотрим вращение материальной точки массой т вокруг неко-

º

торой оси по окружности радиусом R под действием силы F

(рис. 4.1). Положение точки определяется радиусом-вектором ºr , проведенным из произвольного полюса О, лежащего на оси вращения.

O

Рис. 4. 1

46

Запишем для данной точки выражение второго закона Ньютона:

dºv º m --------- = F .

d t

Умножим обе части этого уравнения векторно на ºr :

Левую часть полученного выражения можно представить в виде

Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки, проведенного из полюса, на импульс этой точки называется моментом импульса материальной точки относительно полюса:

Таким образом, левая часть выражения (4.1) определяет скорость изменения момента импульса материальной точки относительно полюса.

Чтобы проанализировать модуль и направление вектора момента

импульса, учтем соотношение (1.13). Разложим вектор ºr на два взаимно перпендикулярных вектора, один из которых сонаправлен с

осью вращения (обозначим его ºrC), а другой — перпендикулярен ей

(обозначим его ºrB) (рис. 4.1). Тогда

Поскольку векторы ºω и ºrC параллельны, то их векторное произведение равно нулю. Таким образом,

Получаем выражение для момента импульса точки в виде

Поскольку векторное произведение обладает дистрибутивностью, то

ºlO = m[( ºrB + ºrC ), [ ºω, ºrB]] =

47

Полученные в правой части уравнения слагаемые в математике называются двойным векторным произведением. В курсе векторной алгебры доказывается, что результат двойного векторного произведения — это вектор, определяемый по следующему правилу:

Первое слагаемое выражения (4.3) перепишем в таком виде:

m[ ºrB, [ ºω, ºrB]] = m( ºω( ºrB, ºrB) – ºrB( ºrB, ºω )) .

Напомним, что скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату модуля вектора: ( ºrB, ºrB) = rB2 . Направления векто-

ров ºrB и ºω указаны на рис. 4.1, эти векторы перпендикулярны

один другому, поэтому скалярное произведение ( ºrB, ºω ) равно нулю. Окончательно имеем:

m[ ºrB, [ ºω, ºrB]] = mrB2 ºω .

Из полученного выражения следует, что одна составляющая вектора момента импульса материальной точки относительно произвольного полюса, лежащего на оси вращения, сонаправлена с вектором угловой скорости этой точки при ее вращении вокруг оси,

º

обозначим ее lOC :

Рассмотрим другую составляющую — второе слагаемое выражения (4.3):

m[ ºrC, [ ºω, ºrB]] = m( ºω( ºrC, ºrB) – ºrB( ºrC, ºω )) .

Поскольку ºrC ºrB, то ( ºrC, ºrB) = 0 , а поэтому m[ ºrC, [ ºω, ºrB]] =

= – mrCω ºrB. Таким образом, вторая составляющая вектора момента

импульса материальной точки относительно произвольного полюса, лежащего на оси вращения, перпендикулярна оси вращения и

º

направлена к центру вращения. Обозначим ее lOB :

48

Объединив выражения (4.4) и (4.5), запишем уравнение для определения момента импульса материальной точки относительно полюса:

ность момента импульса в СИ: [lO ] = кг æм2æс–1.

Вернемся к выражению (4.1) и рассмотрим его правую часть. Векторное произведение радиуса-вектора точки, проведенного из полюса, на вектор силы называется моментом силы относи-

Модуль момента силы (рис. 4.3) MO = rF sin α = Fh, где h = r sin α —

длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы, — называется плечом силы. Рассмотрим основные свойства

º

вектора MO .

1.Момент силы относительно полюса не меняется при переносе силы вдоль линии ее действия, поскольку при этом не меняется плечо силы.

2.Момент равнодействующей нескольких сил равен сумме моментов каждой силы относительно полюса. Действительно, согласно свойству дистрибутивности векторного произведения

ω lO

49

Таким образом, выражение (4.1) может быть может быть записано в виде

i = 1

т.е. скорость изменения момента импульса материальной точки равна суммарному моменту сил, действующих на нее. Соотношение (4.8) называется основным уравнением динамики вращательного движения материальной точки или уравнением моментов.

В качестве примера можно рассмотреть движение планеты вокруг Солнца под действием гравитационной силы. Момент, создаваемый силой гравитации относительно полюса, расположенного в центре орбиты (Солнце), определяется по формуле

º× º

апоэтому r Fгр = 0. Следовательно, момент импульса планеты

по окружности (когда r = const) c постоянной по модулю скоростью, либо по некруговой, но плоской траектории (чтобы осталось посто-

º

янным направление вектора lO ). Вывод: материальная точка в поле центральных сил может двигаться только по плоской траектории.

4.2. Момент импульса системы материальных точек относительно полюса

Составим для системы материальных точек основное уравнение динамики вращения вокруг общей оси. Запишем для каждой точки системы соотношение (4.8):

50