Материал: Общая физика_под ред. Белокопытова_2016 -506с

Рассмотрим на данном примере выбор нулевого уровня потенциальной энергии.

Первый способ. В физике часто встречаются силы, модуль которых с увеличением расстояния между взаимодействующими телами уменьшается и при r → × достаточно быстро стремится к нулю. К таким силам относится сила гравитационного взаимодействия. В таких задачах обычно потенциальную энергию принимают равной нулю «на бесконечности», т.е. в положении системы, когда тела удалены одно от другого бесконечно далеко. Пусть в рассматриваемом примере точка 2 находится «на бесконечности», тогда Wп 2 = 0. В этом случае получим:

Wп1 = – GMm ⁄ r1 или Wп = – GMm ⁄ r .

Этой зависимости потенциальной энергии гравитационного взаимодействия материальной точки т, находящейся на произвольном расстоянии r от массы М, соответствует график, показанный на рис. 3.7, а.

Второй способ. Примем потенциальную энергию системы равной нулю во втором положении системы, т.е. при r = r2 . Тогда Wп 1 =

= – GMm ⁄ r1 + GMm ⁄ r2 , причем второе слагаемое в этой формуле

— некоторая постоянная величина: GMm ⁄ r2 = C. Потенциальная

41

энергия гравитационного взаимодействия на произвольном расстоянии r между телами может быть представлена в виде Wп =

= – GMm ⁄ r1 + C . График, соответствующий этой зависимости, представлен на рис. 3.7, б.

Из последней формулы видно, что потенциальная энергия определена с точностью до некоторого постоянного значения, которое зависит от выбора нулевого потенциального уровня. Этот выбор в каждой конкретной задаче осуществляется индивидуально. При этом, решая задачу, обычно исходят из того, что выражение потенциальной энергии в произвольной конфигурации системы должно выглядеть наиболее просто. Поэтому в нашем примере первый способ выбора нулевого потенциального уровня является наиболее рациональным, а потому и общепринятым.

В качестве еще одного примера рассмотрим гравитационное поле Земли, радиус которой R, а масса М. Можно показать, что если расстояние до центра Земли r > R, то гравитационное поле, создаваемое Землей, такое же, как если бы вся масса Земли была бы сосредоточена в ее центре. Пусть тело массы т перемещается из точки 1, находящейся на расстоянии r1 = R от центра Земли, в точку 2, находящу-

юся на высоте h над поверхностью планеты (r2 = R + h). Найдем

Если h << R, то Wп2 = GMmh ⁄ R2 , а так как g = GM ⁄ R2 , то Wп 2 = mgh. Эта формула часто использовалась в школьных задачах. Обратите внимание на условие, при котором она справедлива!

Рассмотрим потенциальную энергию упруго деформированной пружины. Пусть пружина имеет жесткость k, тогда упругая сила записывается в соответствии с выражением (2.6). Пусть пружина растянута на длину х. Найдем изменение потенциальной энергии:

Если нулевой уровень отсчета потенциальной энергии выбрать в том положении, когда пружина не растянута, то

Wп = kx2 ⁄ 2 .

42

3.5. Дифференциальная связь между потенциальной силой и потенциальной энергией. Понятие градиента

В § 3.4 была получена интегральная связь между изменением потенциальной энергии и потенциальной силой:

(по отношению к заранее выбранному нулевому уровню), которой обладает материальная точка, помещенная в силовое потенциальное поле, найдем значение потенциальной силы. Рассмотрим бесконечно

когда при дифференцировании по одной из переменных (в нашем случае по х) остальные переменные считаются постоянными, назы-

Вектор, компоненты которого равны соответствующим частным производным скалярной величины по координатам, носит название

градиента скалярной функции (обозначается символом grad). Таким образом,

Часто для обозначения градиента вводят так называемый оператор Гамильтона, равный по определению

43

Потенциальную силу можно представить следующим образом:

Можно показать (это будет сделано в курсе математики), что вектор

º

Wп направлен в сторону максимального возрастания функции Wп .

3.6. Закон сохранения механической энергии

Рассмотрим систему материальных точек, между которыми могут действовать как потенциальные, так и непотенциальные силы. Эти

º

силы могут быть как внешними (обозначим их F ), так и внутрен-

º

ними (обозначим их f ). Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии для системы материальных точек (3.6):

º º º º

Wк = A( f п) + A( f неп) + A( Fп ) + A( Fнеп ) ,

где Wк — изменение кинетической энергии рассматриваемой сис-

º

темы; A( f п) — сумма работ всех внутренних потенциальных сил;

º

A( f неп ) — сумма работ всех внутренних непотенциальных сил;

º

A( Fп ) — сумма работ всех внешних потенциальных сил;

Wк + [– A( f п)] + [– A( Fп )] = A( f неп ) + A( Fнеп) .

º

Слагаемое [– A( f п )] представляет собой изменение потенциальной энергии взаимодействия тел системы за счет работы внутренних

º

потенциальных сил. Слагаемое [– A( Fп )] представляет собой изме-

нение потенциальной энергии взаимодействия тел системы за счет работы внешних потенциальных сил. Можно записать в целом, что

Wк + Wп = A( f неп) + A( Fнеп ) .

44

Поскольку сумма кинетической и потенциальной энергий называ-

Таким образом, изменение механической энергии системы материальных точек равно сумме работ внутренних и внешних непотенциальных сил. Выражение (3.13) является математической записью

закона сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии утверждает, что если работа внутренних и внешних непотенциальных сил равна нулю, то механическая энергия системы не меняется.

З а м е ч а н и е 1. Данный вывод справедлив, если потенциальные силы являются стационарными, т.е. если их модуль и направление не зависят от времени.

За м е ч а н и е 2. Если внутри системы действуют только стационарные потенциальные силы, то система называется консервативной. Можно сказать, что механическая энергия сохраняется, если система консервативная и замкнутая. Однако это требование более сильное, чем то, которое требуется в нашем условии выполнимости закона сохранения механической энергии.

За м е ч а н и е 3. Если внутри системы или на нее действуют диссипативные силы, то механическая энергия системы сохраняться не может, если не работают внешние силы, работа которых восполняет убыль энергии в системе.

За м е ч а н и е 4. Закон сохранения механической энергии справедлив только в инерциальной системе отсчета. Это следует из того факта, что закон был получен на основании теоремы об изменении кинетической энергии, которая сама являлась следствием второго закона Ньютона, который выполняется в инерциальной системе отсчета.

За м е ч а н и е 5. Можно показать, что закон сохранения механической энергии следует из однородности времени, которая проявляется в том, что разные моменты времени одинаковы. Это означает, что два одинаковых эксперимента, поставленные в одинаковых условиях, приведут к одному и тому же результату.

За м е ч а н и е 6. Следует еще раз подчеркнуть, что общефизический закон сохранения энергии справедлив всегда без ограничений.

45