Рисунок 3.7 Пример изменения энергии захваченной частицы
3.5 Численное моделирование движения ансамбля частиц
Решение системы уравнений движения для одной частицы на центральном процессоре домашнего компьютера занимает несколько минут. Нас интересует, каким, в результате резонансного взаимодействия с волной, окажется среднее значение и дисперсия изменения энергии ансамбля частиц. Для этого необходимо решить систему уравнений движения для большого количества заряженных частиц. Подход, описанный выше, плохо подходит для решения такой задачи, так как вычисление траекторий тысячи частиц занимает время порядка суток. Для преодоления этой проблемы была написана программа для решения системы уравнений с использованием вычислительной мощности графического процессора, который способен эффективно выполнять параллельные вычисления. Программа была написана на языке программирования «Python» с использованием библиотек [24] и [25]. Использование графического процессора позволяет сократить время расчета траекторий 250 000 частиц до нескольких часов. Библиотека [25] изначально была написана для исследователей, изучающих применение машинного обучения, в частности нейронных сетей, для эффективного решения систем дифференциальных уравнений (см. [26]). Отметим, что в данной работе методов машинного обучения не использовалось.
С помощью метода Монте-Карло (см. [27]) был сгенерирован ансамбль, состоящий из 250 000 частиц, с функцией распределения , с температурой кэВ. Начальные условия и были взяты из распределения , начальная координата , гирофаза выбиралась случайно. Для всех начальных условий была решена система уравнений до безразмерного времени , что соответствует тому, что большинство частиц совершило одно баунс-колебание. В случае если частица попадала в конус потерь, расчет для нее останавливался при достижении частицей поверхности Земли, что соответствует величине внешнего магнитного поля Гаусс. На Рисунке 8 представлена гистограмма изменения кинетической энергии и магнитного момента частиц ансамбля.
Рисунок 8 Изменение кинетической энергии и магнитного момента ансамбля частиц за безразмерное время Т = 16
Результаты расчета показывают, что резонансное взаимодействие заряженных частиц с волной приводит к их рассеянию по питч-углам, в результате чего часть из них попадает в конус потерь и высыпается в атмосферу. Волна приводит к существенному изменению энергии некоторых частиц, которые оказываются захваченными волной на черенковском или первом циклотронном резонансах при их движении к полюсу и к экватору, соответственно. При этом все волны движутся от экватора к полюсу. Все эти волны формируют волновой пакет, в котором мы рассматриваем движение частиц.
Новизна данного расчета заключается в одновременном учете изменения параметров волнового поля вдоль траектории частицы, а именно, изменение абсолютной величины и угла волнового вектора по отношению к внешнему магнитному полю, а также амплитуды волны, связанной с фокусировкой лучей. Рассмотрение с учетом релятивистских эффектов. Анализ взаимодействия релятивистских электронов на разных циклотронных, в том числе черенковском, резонансах при движении частицы к полюсу и к экватору.
При движении частиц от экватора к полюсу наблюдается выделенная группа частиц, которые в процессе своего движения имеют одинаковую координату. Это продемонстрировано на Рисунке 9, на котором изображен участок фазовой плоскости в некоторый момент времени.
Рисунок 9 Участок фазовой плоскости, демонстрирующий сгусток частиц в одной координате
Такая особенность связана с тем, что продольная скорость частиц, захваченных волной на черенковском резонансе, осциллирует вокруг резонансной скорости , что приводит к их синхронному движению. На Рисунке 10 продемонстрирован пример зависимости продольной скорости захваченных частиц от времени.
Рисунок 10 Зависимость продольной скорости захваченных частиц от координаты x. Фиолетовой линией показана резонансная скорость
На временах много больших баунс-периода, начинается диффузия электронов в фазовом пространстве, которая характеризуется коэффициентами диффузии , , (смотри подробности в [20]). Вычислим коэффициент диффузии для характерного значения и ,
Здесь - характерный баунс-период, означает усреднение по фазовому объему. Рассчитаем дисперсию гамма-фактора для частиц с начальными условиями вблизи некоторых и . Результаты вычисления представлены на Рисунке 11.
Рисунок 11 Изменение гамма-фактора
Таким образом, вблизи и , .
4. Заключение
По современным представлениям резонансное взаимодействие волн и частиц является одним из механизмов, который приводит к появлению электронов релятивистских энергий во внешнем радиационном поясе Земли. Интерес к исследованию данной проблемы возрос в настоящее время в связи с измерениями потоков энергичных частиц и многокомпонентными волновыми измерениями непосредственно в радиационном поясе, проводимыми на спутниках Van Allen Probes и Arase. В настоящей работе рассмотрены два аспекта резонансного взаимодействия волн и частиц, относящихся к указанной проблеме - это перенос энергии от протонов к электронам при их резонансном взаимодействии с нижне-гибридными волнами и динамика релятивистских электронов при взаимодействии с квазиэлектростатической свистовой волной, распространяющейся в магнитосфере.
На примере модельной задачи в однородной плазме была показана возможность эффективного переноса энергии между двумя группами резонансных частиц (протонов и электронов) через НГР волну. Для этого были вычислены линейные инкременты ( и ) нарастания волны при ее взаимодействии с резонансными протонами и электронами соответственно, а также показана возможность выполнения необходимых для эффективного переноса энергии условий .
При анализе резонансного взаимодействия волн и частиц в неоднородной магнитосферной плазме мы отступили от рассмотрения процесса переноса энергии между резонансными частицами, сосредоточив внимание на детальном исследовании динамики релятивистских электронов при их взаимодействии с квазиэлектростатической волной. Аналитически рассчитано изменение кинетической энергии частиц при их взаимодействии с волной на произвольном циклотронном резонансе в приближении сильной неоднородности с учетом релятивистских эффектов. С помощью методов численного решения дифференциальных уравнений была решена полная система релятивистских уравнений движения без приближения сильной неоднородности, с учетом возможности фазового захвата электрона волной, перехода между различными циклотронными резонансами, а также учетом изменения параметров волны вдоль траектории движения электрона. Была написана программа, позволяющая вычислять траекторию движения сотен тысяч электронов за приемлемое время. Это позволило вычислить среднее и дисперсию изменения кинетической энергии ансамбля частиц. Это дало возможность вычислить коэффициент диффузии электронов в фазовом пространстве, что может быть использовано для моделирования изменения кинетической энергии электронов за большое число баунс-колебаний. Насколько нам известно, до настоящего времени динамика релятивистских частиц в поле волны, распространяющейся под углом к внешнему магнитному полю, с одновременным учетом всех указанных факторов не была исследована.
Литература
1. Van Allen J.A. et al. Observation of High Intensity Radiation by Satellites 1958 Alpha and Gamma // Journal of Jet Propulsion. 1958. Vol. 28, № 9. P. 588-592.
2. Li W., Hudson M. Earth's Van Allen Radiation Belts: From Discovery to the Van Allen Probes Era // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 2019. Vol. 124, № 11. P. 8319-8351.
3. Hundhausen A. Direct observations of solar-wind particles // Space Science Reviews. 1968. Vol. 8, № 5-6. P. 690-749.
4. Blake J. et al. Injection of electrons and protons with energies of tens of MeV into L< 3 on 24 March 1991 // Geophysical Research Letters. 1992. Vol. 19, № 8. P. 821-824.
5. Трахтенгерц В.Ю., Райкрофт М.Д. Свистовые и альфвеновские циклотронные мазеры в космосе. 2011.
6. Li X. et al. Simulation of the prompt energization and transport of radiation belt particles during the March 24, 1991 SSC // Geophysical Research Letters. 1993. Vol. 20, № 22. P. 2423-2426.
7. Demekhov A.G. et al. Electron acceleration in the magnetosphere by whistler-mode waves of varying frequency // Geomagn. Aeron. 2006. Vol. 46, № 6. P. 711-716.
8. Artemyev A. et al. Oblique Whistler-Mode Waves in the Earth's Inner Magnetosphere: Energy Distribution, Origins, and Role in Radiation Belt Dynamics // Space Science Reviews. 2016. Vol. 200.
9. Gendrin R. Wave particle interactions as an energy transfer mechanism between different particle species // Space Sci Rev. 1983. Vol. 34, № 3. P. 271-287.
10. Shklyar D. Wave-particle interactions in marginally unstable plasma as a means of energy transfer between energetic particle populations // Physics Letters A. 2011. Vol. 375, № 14. P. 1583-1587.
11. Fisch N.J., Rax J.-M. Interaction of energetic alpha particles with intense lower hybrid waves // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69, № 4. P. 612-615.
12. Kimura I. Radio Sci. 1, 269. 1966.
13. Kimura I. Whistler Mode Propagation in the Earth and Planetary Magnetospheres and Ray Ttracing Techniques // Space Plasma Simulations. Springer, 1985. P. 449-466.
14. Zhang Y.L., Matsumoto H., Omura Y. Linear and nonlinear interactions of an electron beam with oblique whistler and electrostatic waves in the magnetosphere // Journal of Geophysical Research: Space Physics. 1993. Vol. 98, № A12. P. 21353-21363.
15. Nunn D. A self-consistent theory of triggered VLF emissions // Planetary and Space Science. 1974. Vol. 22, № 3. P. 349-378.
16. Шафранов В. Вопросы теории плазмы/Под ред. МА Леонтовича. Вып. 3. 1963.
17. Шкляр Д.Р., Балихин М.А., Титова Е.Е. К теории генерации экваториального шума в магнитосфере Земли, “Геомагнетизм и аэрономия” // Геомагнетизм и аэрономия. 2017. № 6, 2017, Том 57. С. 744-750.
18. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Том 2. Теория поля. Litres, 2020.
19. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Том 1. Механика. ЛитРес, 2018.
20. Shklyar D., Matsumoto H. Oblique Whistler-Mode Waves in the Inhomogeneous Magnetospheric Plasma: Resonant Interactions with Energetic Charged Particles // Surveys in Geophysics. 2009. Vol. 30. P. 55-104.
21. Карпман В.И., Шкляр Д.Р. Нелинейное затухание Ландау в неоднородной плазме // ЖЭТФ. 1974. Том. 67. С. 102-109.
22. Bogacki P., Shampine L.F. A 3(2) pair of Runge - Kutta formulas // Applied Mathematics Letters. 1989. Vol. 2, № 4. P. 321-325.
23. Shampine L.F., Reichelt M.W. The MATLAB ODE Suite // SIAM J. Sci. Comput. 1997. Vol. 18, № 1. P. 1-22.
24. PyTorch [Electronic resource]. URL: https://www.pytorch.org (accessed: 07.06.2020).
25. Chen R.T.Q. rtqichen/torchdiffeq [Electronic resource]. 2020. URL: https://github.com/rtqichen/torchdiffeq (accessed: 07.06.2020).
26. Chen R.T.Q. et al. Neural Ordinary Differential Equations // Advances in Neural Information Processing Systems 31 / ed. Bengio S. et al. Curran Associates, Inc., 2018. P. 6571-6583.
27. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo Method // Journal of the American Statistical Association. 1949. Vol. 44, № 247. P. 335-341.