ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»
1. Введение
В 1958 году при запуске первых искусственных спутников Земли были впервые обнаружены так называемые радиационные пояса Земли, известные как радиационные пояса Ван Алена. Подробности открытия описаны в статье [1]. В настоящее время широкую известность получила космическая миссия «Van Allen Probes». С помощью двух космических аппаратов, наряду с измерениями плотности тепловой плазмы и геомагнитного поля, были выполнены измерения дифференциальных потоков энергичных заряженных частиц и многокомпонентные измерения всех шести компонент волнового электромагнитного поля непосредственно в радиационных поясах Земли, что раньше представлялось невозможным [2].
Радиационным поясом называется область в магнитосфере, в которой магнитным полем Земли удерживаются высокоэнергичные частицы, в основном протоны и электроны. В частности, в радиационных поясах наблюдаются электроны с энергией в несколько МэВ. Такие электроны называют электронами «убийцами», так как они могут повреждать спутники из-за своей высокой энергии. Происхождение частиц с такой высокой энергией неясно: их источником не может быть солнечный ветер, так как в нем отсутствуют частицы с такой высокой энергией. В статье [3] приведены измерения спектра энергии электронов в солнечном ветре. В спокойном солнечном ветре не наблюдается электронов с энергией, превышающей 1 кэВ. Это означает, что могут существовать механизмы ускорения электронов в радиационных поясах.
Предлагается множество моделей, пытающихся объяснить этот процесс (см. обзор [2]). Например, 24 марта 1991 года из-за корональных выбросов массы, произошло поджатие магнитопаузы внутрь геосинхронной орбиты, приведшее к появлению нового радиационного пояса с энергиями частиц > 13 МэВ в области, в которой частицы обычно отсутствуют [4]. Порожденное поджатием магнитопаузы азимутальное электрическое поле приводит к дрейфу частиц в сторону Земли. В результате этого процесса, частицы ускоряются с сохранением своего первого адиабатического инварианта [5], как было показано в первых моделях [6].
Очень часто обсуждаются процессы взаимодействия типа волна-частица (см., например, [7]). В результате взаимодействия частицы с волной частица может увеличить свою энергию. Это является основанием для теорий, предполагающих, что наличие электронов с высокой кинетической энергией объясняется получением ими энергии от электромагнитных волн в результате резонансного взаимодействия (см. обзор [8] и имеющиеся там ссылки).
Такая возможность в реальности не вполне очевидна, так как плотность энергии электромагнитных волн, как правило, много меньше плотности энергии энергичных частиц. Таким образом, у волн недостаточно энергии для существенного нагрева энергичных электронов. В связи с этим, процесс ускорения частиц, основанный на переносе энергии между двумя группами частиц, представляется более реалистичным.
Обмен энергией происходит при взаимодействии двух групп частиц с электромагнитной волной. Этот процесс может включать как частицы одного сорта, так и, например, протоны и электроны. В работе [9] обсуждаются механизмы переноса энергии в таких процессах происходящих в бесстолкновительной плазме магнитосферы и плазме солнечного ветра. Обмен энергией между двумя популяциями резонансных электронов, находящихся на разных циклотронных резонансах, был рассмотрен в работе [10]. Ясно, что перенос энергии между двумя группами частиц представляет интерес с точки зрения появления частиц с высокой энергией только в том случае, если менее энергичные частицы будут передавать свою энергию более энергичным. В случае равновесной среды такой перенос энергии запрещен термодинамикой, однако околоземная плазма является неравновесной средой, и в ней этого термодинамического запрета нет.
В первой части данной работы на примере модельной задачи показана возможность переноса значительного количества кинетической энергии от резонансных протонов к резонансным электронам при их одновременном взаимодействии с электромагнитной волной. Рассматривается процесс взаимодействия квазиэлектростатической свистовой волны вблизи частоты нижнего гибридного резонанса (НГР), распространяющейся под большим углом к внешнему магнитному полю (вблизи резонансного конуса), с резонансными протонами и электронами. Хорошо известно, что в таких условиях волна может одновременно эффективно взаимодействовать с двумя сортами частиц [11]. С электронами такая волна взаимодействует на нулевом (черенковском) резонансе. С протонами волна может эффективно взаимодействовать на циклотронных резонансах с большими номерами .
Действительно, из нерелятивистского резонансного условия для протонов (здесь - протонная гирочастота, - скорость протона вдоль внешнего магнитного поля, - продольный волновой вектор) следует, что даже при (именно такой случай нас интересует, так как мы рассматриваем волны, распространяющиеся под большим углом ко внешнему магнитному полю) резонансная скорость может оставаться конечной в силу малого числителя. При частоте волны близкой к НГР малость числителя достигается при . Для других номеров резонансная скорость протонов очень велика. Учитывая то, что функция распределения протонов, как правило, быстро спадает с увеличением их скорости, найдется достаточно резонансных протонов для эффективного взаимодействия с волной только при .
Что же касается резонансного условия для электронов, для которых ( - электронная гирочастота, порядка частоты НГР), то для них, очевидно, черенковский резонанс, отвечающий, наименьшей по абсолютной величине скорости, будет играть главную роль.
В нашем случае функция распределения электронов выбрана устойчивой, в то время как функция распределения протонов - неустойчивой. В случае неустойчивой функции распределения частиц плазмы энергия волны увеличивается за счет кинетической энергии резонансных частиц. Наоборот, в случае устойчивой функции распределения волна отдает энергию частицам [5]. В рассматриваемом случае инкремент (декремент) волны определяется конкуренцией коэффициентов усиления (затухания) двух групп резонансных частиц. Как будет показано далее, в случае, когда результирующий инкремент является малой положительной величиной, а также соблюдении условий, указанных в основной части данной работы, кинетическая энергия резонансных протонов эффективно переходит в кинетическую энергию резонансных электронов через НГР волну. Резонансная скорость электронов, взаимодействующих с НГР волной на черенковском резонансе, может быть близка к скорости света, поэтому важно учитывать релятивистские эффекты. Существенной особенностью данной работы является учет релятивистских эффектов при вычислении вклада электронов в декремент волны.
2. Механизм переноса энергии от протонов к электронам
2.1 Основные уравнения
Как было показано в работе Кимуры [12], при учете ионного вклада в дисперсионное соотношение свистовых волн, эти волны могут испытывать отражение от областей, где частота нижнего гибридного резонанса совпадает с частотой волны. Распространяясь в магнитном поле Земли, свистовая волна, подходит к области НГР, где становится квазиэлектростатической и отражается (см. [13]). При отражении, как следует из геометрической оптики, волновой вектор волны образует большой угол с внешним магнитным полем .
Будем рассматривать плоскую квазиэлектростатическую волну, распространяющуюся под углом к внешнему магнитному полю . Система координат выбрана так, что . Электрическое поле волны задается следующим образом:
где - модуль волнового вектора волны, - частота волны. В случае квазиэлектростатической волны, магнитным полем волны , при исследовании резонансного взаимодействия, можно пренебречь. Как мы покажем ниже, коэффициент усиления волны может быть найдет, если решены уравнения движения частиц. Нерелятивистское уравнение движения, в которое входит магнитное поле волны , выглядит следующим образом:
где - заряд частицы, m - масса частицы, - вектор скорости частицы, - скорость света в вакууме, - вектор напряженности электрического поля квазиэлектростатической волны. В случае квазиэлектростатической волны выполнено следующее условие (см. [14]), поэтому магнитным полем волны можно пренебречь.
Эволюция поля волны, вызванная резонансным взаимодействием с заряженными частицами, описывается уравнением (см., например, [15]):
где - плотность энергии волны, - вектор групповой скорости волнового пакета, <…> означает усреднение по периоду волны, - плотность тока резонансных частиц, - инкремент нарастания волны.
Плотность энергии квазиэлектростатической волны может быть вычислена согласно общей формуле (см. [16]):
где - компоненты тензора диэлектрической проницаемости, означает комплексное сопряжение комплексной амплитуды электрического поля. Для волны с частотой близкой к частоте нижнего гибридного резонанса выражение для плотности энергии принимает вид:
где - частота верхнего гибридного резонанса, - электронная циклотронная частота.
Правая часть уравнения , взятая с обратным знаком, является полной производной от плотности кинетической энергии резонансных частиц:
Таким образом, уравнение - не что иное как закон сохранения энергии в системе волна - резонансная частица.
Правая часть уравнения является определением инкремента (декремента) волны, которое может быть записано:
Так как инкремент волны определяется током резонансных частиц, выражение может быть представлено в виде суммы вкладов от различных циклотронных резонансов от протонов и электронов:
Здесь - ток частиц (протонов или электронов), взаимодействующих с НГР волной на циклотронном резонансе с номером . Как было указано выше, для рассматриваемых частот основной вклад в инкремент дает черенковский резонанс для электронов и резонансы с большим номером ( для протонов.
Определение инкремента может быть переписано следующим образом:
Здесь - функция распределения резонансных частиц, - невозмущенная функция распределения, она не вносит вклад в интеграл и введена для удобства вычислений.
Для расчета инкремента необходимо знать ток резонансных частиц, определяемый их функцией распределения. Последняя может быть найдена по теореме Лиувилля, если известно решение уравнений движения резонансных частиц. В случае однородной задачи теорема Лиувилля имеет следующий вид:
где - импульс частицы.
Разница может быть разложена по формуле Тейлора с точностью до членов первого порядка:
где и составляющие импульса частицы параллельные и перпендикулярные внешнему магнитному полю соответственно. Для нахождения разности и , будем решать систему уравнений движения заряженных частиц в заданном поле волны. Система уравнений движения выглядят следующим образом:
где - релятивистский фактор. В этой части работы будет вычислен только линейный инкремент, что соответствует решению системы уравнений в линейном приближении по полю, что в свою очередь соответствует подстановке в правую часть уравнений невозмущенных траекторий движения.
Приведем окончательные выражения для вкладов в линейный инкремент волны от протонов и электронов. При вычислении протонного вклада в инкремент не были учтены релятивистские эффекты, так как резонансная скорость протонов много меньше скорости света. Окончательное выражение выглядит следующим образом:
Здесь - масса протона, -плазменная частота для электронов, - функция Бесселя первого рода целого порядка , - резонансное значение продольного импульса, выраженное из условия циклотронного резонанса , функция распределения нормирована таким образом, что , где - концентрация электронов.
При вычислении электронного вклада в инкремент были учтены релятивистские эффекты, но был вычислен только декремент так как именно он вносит основной вклад в электронный декремент. Это связано с тем, что в этом случае резонансный импульс электронов порядка , в то время, как , где - нижнегибридная частота, - циклотронная частота электронов. Таким образом >> . В силу того, что функция распределения быстро спадает с ростом импульса, электронов, взаимодействующих с НГР волной на первом циклотронном резонансе, много меньше, чем электронов, взаимодействующих на нулевом. Поэтому следует ожидать, что .
Получаем выражение для вклада в линейный декремент от электронов: