Здесь - масса электрона, определяется из условия релятивистского циклотронного резонанса
при n = 0. Вычисления дают следующую связь между продольным и поперечным резонансным импульсом:
Отметим, что подкоренное выражение в формуле содержит комбинацию параметров волны , которая может быть отрицательной или обращаться в ноль. В случае, если выражение обращается в ноль или становится отрицательным, резонансное взаимодействие частицы с такой волной невозможно, так как это требует скорости частицы больше или равной скорости света, как следует из . Поэтому мы рассматриваем только волны, для которых это выражение положительно.
Выберем невозмущенные функции распределения следующим образом:
Здесь T - температура в энергетических единицах. Нормировочная постоянна определяется из условия нормировки:
где - плотность частиц сорта (протонов и электронов). Множитель в функции распределения связан с наличием конуса потерь. Функция распределения неустойчива, то есть, может приводить к положительному инкременту. Как мы покажем далее, это может привести к эффективному переносу энергии от резонансных протонов к резонансным электронам.
Для вычисления нормировочных констант и были использованы методы численного интегрирования. Расчет производится следующим образом:
где , и - безразмерные импульсы, штрихи не ставятся, так как безразмерные импульсы играют роль переменной интегрирования.
Необходимо также вычислить производные от невозмущенных функций распределения, так как именно они входят в окончательное выражение для инкремента волны , :
Проделанные вычисления позволяют найти вклад в линейный инкремент (или декремент) от протонов и электронов.
2.2 Перенос энергии от протонов к электронам
Уравнения и можно переписать в следующем виде:
Откуда следует:
Мы видим, что наиболее интересный случай, с точки зрения эффективного переноса энергии от протонов к электронам, реализуется тогда, когда линейные инкременты удовлетворяют следующим соотношениям:
В этой ситуации энергия, теряемая протонами, и энергия, приобретаемая электронами на черенковском резонансе, намного превышает рост энергии волны. Таким образом, энергия резонансных протонов эффективно переходит в энергию резонансных электронов.
2.3 Результаты расчетов
Согласно полученным формулам для вклада в линейный инкремент протонов и электронов , были проведены численные расчеты протонных и электронных линейных инкрементов. Параметры плазмы соответствуют параметрам во внутреннем радиационном поясе Земли, а именно, в экваториальной области с ~ 3. В качестве функций распределения для протонов и электронов были выбраны функции и соответственно.
Результаты расчетов представлены на Рисунке 2.1. Здесь цветовым кодом показано значение соответствующего инкремента (или декремента) в зависимости от частоты волны и угла волнового вектора относительно внешнего магнитного поля.
Рисунок 2.1 Электронный декремент волны (слева) и протонный инкремент (справа)
Рисунок демонстрирует, что в диапазоне углов от 89 до 89.5 градусов, а также частот в области 43.5 и 44.5 протонных циклотронных частот, возможно выполнение всех трех условий , что приводит к эффективному переносу энергии от резонансных протонов к релятивистским резонансным электронам. Отметим, что выполнение условий не ожидается на точных гармониках протонной циклотронной частоты. Как было показано в работе [17], во всяком случае для частот ниже нижнегибридной частоты, на точных гармониках протонной гирочастоты резонансное взаимодействие волны с протонами ведет к ее затуханию.
3. Динамика релятивистских электронов в поле квазиэлектростатической НГР волны во внешнем дипольном магнитном поле
В этой главе мы отойдем от рассмотрения функции распределения резонансных частиц и вычисления инкремента неустойчивости волны, а также обмена энергией между двумя группами резонансных частиц. Вместо этого мы сфокусируемся на более детальном изучении движения отдельной частицы в области резонансного взаимодействия с квазиэлектростатической волной.
Мы будем рассматривать движение заряженной частицы во внешнем дипольном магнитном поле Земли и поле квазиэлектростатической волны на временах сопоставимых с одним баунс-периодом. Такой подход позволит нам учесть такие факторы, как неоднородность плазмы и внешнего магнитного поля, выход заряженной частицы из резонанса, переход между несколькими резонансами. Мы сможем вычислить не только среднее изменение энергии резонансных частиц, но и среднеквадратичное изменение энергии за время одного баунс-периода.
3.1 Вывод полной системы уравнений движения
Пусть и импульс и координата релятивисткой частицы в прямоугольных координатах соответственно. Импульс выражается через скорость частицы следующим образом:
где m - масса электрона и - релятивистский фактор:
Будем считать, что внешнее магнитное поле задается векторным потенциалом
Электрическое поле квазиэлектростатической волны задается с помощью скалярного потенциала
Точные выражения для будут приведены ниже.
Хорошо известно (см., например, [18]), что уравнения движения заряженной частицы во внешнем магнитном поле и поле квазиэлектростатической волны могут быть записаны в Гамильтоновой форме, если в качестве сопряженных переменных выбрать
и координату , где q это заряд частицы, c это скорость света. Гамильтониан имеет вид
соответствующие ему уравнения движения
Будем полагать, что волна, описываемая скалярным потенциалом , распространяется в меридиональной плоскости, таким образом ни внешнее магнитное поле, ни электрическое поле волны, не зависят от азимутального угла. Для определенности, будем считать, что внешнее магнитное поле является дипольным.
В рассматриваемом нами случае Декартова система координат неудобна, намного проще рассматривать движение заряженной частицы в дипольных координатах , и . Отметим, что достоинством Гамильтонова подхода является то, что мы можем осуществить переход к новым координатам только в Гамильтониане, а не в уравнениях движения, что заметно легче.
Переход к дипольной системе координат можно осуществить с помощью производящей функции
где - дипольные координаты, выраженные через Декартовы и - новые импульсы. Производящая функция выражена через старые координаты и новые импульсы, таким образом, (см., например, [19]) связь между старыми и новыми переменными, следующая:
Новые координаты совпадают с дипольными. В то же время, последние три уравнения из показывают, что связь между старыми и новыми канонически сопряженными переменными весьма сложная. Намного проще выглядит связь между новыми каноническими импульсами и ортогональными проекциями старых на оси дипольной системы координат:
где коэффициенты Ламе, зависящие от координат.
Так как производящая функция не зависит от времени, то новый Гамильтониан равен старому, выраженному через новые переменные (см., например, [19]). В первую очередь, определим выражение для векторного потенциала , которое оказывается очень простым в дипольных координатах. Так как внешнее магнитное поле в дипольных координатах имеет только одну компоненту, а именно компоненту, то векторный потенциал может быть выбран так, что , . Тогда внешнее магнитное поле будет иметь вид [20]:
где единичный вектор вдоль оси M. Используя явный вид коэффициентов Ламе и выражение для дипольного поля , можно найти, что
где величина магнитного поля на экваторе вблизи поверхности Земли ( Гаусс), - радиус Земли.
После того как получено выражение векторного потенциала в дипольных координатах, получим выражение , входящее в Гамильтониан. Используя указанную выше связь между проекциями импульса на оси дипольной системы координат и новыми компонентами импульса, получим:
Отметим, что так как азимутальная координата не входит в Гамильтониан, сопряженный ей канонический импульс сохраняется на решениях уравнений движения. Рассмотрим частицы с заданным значением момента и определим для них следующим образом:
есть ни что иное как координата ведущего центра частицы (L-оболочка ведущего центра).
Принимая во внимание то, что Ларморовский радиус частицы много меньше масштаба неоднородности, который порядка радиуса Земли, мы можем разложить последнее слагаемое в выражении около до члена первого порядка:
Здесь .
Циклическая частота заряженной частицы выражается через внешнее магнитное поле, с учетом , следующим образом:
Положим в коэффициентах Ламе, а также в циклотронной частоте, чьи характерные масштабы изменения порядка радиуса Земли , таким образом, коэффициенты Ламе и циклотронная частота станут функциями, зависящими только от . Тогда:
Гамильтониан принимает вид:
Канонически сопряженными переменными являются . Циклотронная частота электрона входит в Гамильтониан только в квадрате, поэтому, в дальнейшем, будет обозначать абсолютное значение электронной циклотронной частоты.
С помощью еще одного канонического преобразования перейдем от переменных к новым переменным и , производящая функция определена следующим образом:
Соотношение между старыми и новыми переменными определяется стандартными формулами и имеет вид:
Мы видим, что новая координата , которая является однозначной функцией дипольной координаты , есть ни что иное как длина вдоль силовой линии .Выражение для может быть переписано:
где квадрат поперечного релятивистского импульса частицы: . Эта величина не является канонической переменной, однако проясняет физический смысл переменной .
Скалярный потенциал квазиэлектростатической монохроматической волны может быть выбран в следующей форме:
где постоянная частота волны. Разложим фазу вблизи :
По определению, локальный волновой вектор , что в дипольных координатах выражается как:
Принимая во внимание это, а также то, что и , перепишем выражение в виде:
Применяя каноническое преобразование и подставляя выражение для потенциала волны, запишем новый Гамильтониан:
Где
Соответствующие этому Гамильтониану уравнения движения могут быть получены стандартным способом:
где - релятивистский фактор, - фаза волны. При получении системы уравнений , были отброшены члены, содержащие производную амплитуды потенциала волны по продольной координате , ввиду их малости.
Система уравнений является замкнутой и позволяет описать движение заряженной частицы в неоднородной плазме в поле квазиэлектростатической волны. В дальнейшем эта система будет использоваться при численном расчете движения заряженной частицы как в резонансной, так и нерезонансной областях.
3.2 Метод усреднения
К Гамильтониану может быть применено еще одно преобразование, которое позволяет выявить условия резонансного взаимодействие между волной и частицами и исследовать это взаимодействие. Используя хорошо известное разложение:
где функция Бесселя первого рода, перепишем Гамильтониан в форме:
где .
В нашем рассмотрении поле волны является малой величиной, поэтому полная производная Гамильтониана по времени совпадает с полной производной от кинетической энергии в нулевом приближении по полю волны. Используя хорошо известное соотношение
получим:
Изменение кинетической энергии заряженной частицы существенно связано с поведением . Производная по времени может быть записана в нулевом приближении по полю волны:
Равенство нулю называют релятивистским условием циклотронного резонанса порядка n:
В случае выполнения условия для конкретного n, соответствующее слагаемое в является медленно меняющимся и вносит основной вклад в изменение кинетической энергии частицы. Для нерезонансных частиц, для которых значение далеко от нуля для всех , кинетическая энергия имеет характер осциллирующей переменной величины, амплитуда изменения которой много меньше изменения энергии резонансных частиц.
Отметим, что в неоднородной плазме резонансное условие зависит от длины вдоль силовой линии магнитного поля, описывающей положение частицы. Таким образом, заряженная частица, двигаясь, например, от экватора к полюсу, может вступать в резонанс с волной и выходить из него.
Рассмотрим приближение уединенного циклотронного резонанса с номером n, тогда в Гамильтониане можно оставить только одно слагаемое, связанное с полем квазиэлектростатической волны. Гамильтониан имеет вид:
где
В приближении уединенного резонанса существует дополнительный интеграл движения, связанный с тем, что переменные и входят в Гамильтониан только в комбинации .
С помощью соотношений и нетрудно показать, что:
Таким образом, существует дополнительный интеграл движения:
Заметим, что при , интегралом движения становится величина магнитного момента , что вполне очевидно, так как Гамильтониан перестает зависеть от переменной и канонически сопряженный ей импульс сохраняется. Для запишем: