Наличие дополнительного интеграла движения позволяет перейти к одномерной задаче. Для этого выберем в качестве канонических переменных и , а в качестве независимой переменной стоит выбрать длину вдоль силовой линии внешнего магнитного поля.
Процесс перехода к новым переменным достаточно стандартный, и будет детально описан ниже. При переходе к одномерной задаче будем сохранять в Гамильтониане взаимодействия только члены первого порядка по амплитуде потенциала волны , что соответствует точности нашего анализа.
Получим уравнение для :
Выражения для , и получаются из Гамильтониана стандартным путем и имеют вид:
Получим выражение для , для этого воспользуемся уравнением
Исключая с помощью закона сохранения и ограничиваясь только членами первого порядка по , получим:
где это величина продольного импульса частицы, выраженная через переменные и в нулевом приближении по
Подставляя формулы и выражение для и во вторую формулу из , получим:
тогда:
Чтобы определить зависимость достаточно подставить в функцию выражение с точностью до нулевого порядка по , таким образом, уравнение будет написано с точностью до первого порядка по . Приведем необходимое выражение для с точностью до нулевого порядка по :
Уравнение для получим следующим образом:
Для вычисления запишем выражение для :
где .
Вычисляя производную , мы можем использовать соотношение между и в нулевом порядке по :
Согласно общим формулам для замены переменных в дифференциальных выражениях:
Выражение для производной , примененной к , существенно упрощается, так как зависит от и только как от комбинации
Таким образом справедливо уравнение:
Подставляя выражение в формулу , получим полную систему двух уравнений, описывающую движение частицы в резонансной области:
Система уравнений является Гамильтоновой при . В этом случае уравнения заметно упрощаются и, как нетрудно проверить, могут быть получены из Гамильтониана:
При , уравнения могут быть сведены к Гамильтоновым, если выразить из резонансного условия , что не нарушает точности нашего рассмотрения вблизи резонанса. Тогда два слагаемых из первого уравнения можно объединить:
и система уравнений движения резонансной частицы может быть получена из Гамильтониана:
справедливого в резонансной области для всех номеров циклотронного резонанса .
Отметим, что в неоднородной плазме приближение изолированного резонанса не работает на больших временах, так как для одной частицы за время её движения резонансное условие может выполняться для нескольких . Однако, приближение изолированного резонанса имеет смысл, если нас интересует прохождение частицей конкретного резонанса, когда эти резонансы изолированы, то есть, когда между резонансами, частица движется в нерезонансной области. Введем вблизи резонанса параметр неоднородности среды , который имеет размерность квадрата частоты и определяется как
где величина напряженности поля квазиэлектростатической волны. Как будет показано далее, время прохождения частицей резонанса оказывается равным , а время движения между резонансами . Если условие выполнено, то резонансы изолированы. В магнитосфере это условие выполняется, что подтверждается численными расчетами, которые будут представлены далее, из которых видно, что время, за которое частица проходит резонансную область, много меньше времени движения между резонансными областями.
3.3 Изменение энергии одной частицы
Энергия заряженной частицы, двигающейся согласно уравнениям движения , изменяется только вблизи области, где выполнено резонансное условие . Резонансное условие определяет резонансное значение релятивистского фактора .
Запишем Гамильтониан в виде:
где . Выражение для , как функции и , может быть получено из равенства нулю производной :
где
Разложим первое слагаемое Гамильтониана в окрестности с точностью до членов второго порядка по и подставим во второе слагаемое в , которое уже пропорционально амплитуде потенциала волны:
Для удобства перейдем к новому «времени», которое является монотонной функцией :
В результате такого преобразования Гамильтониан примет вид:
Гамильтониан состоит из суммы «кинетической энергии» и «потенциальной энергии» . Особенностью этого Гамильтониана является зависимость эффективной «потенциальной энергии» от «времени» . Эффективная «кинетическая энергия» так же меняется со «временем». Система уравнений движения, соответствующая Гамильтониану , выглядит следующим образом:
Изменение резонансного значения гамма-фактора связано с неоднородностью плазмы (в однородной плазме ). Изменение можно характеризовать с помощью его производной, которую мы будем обозначать :
где , должна быть взята из , при дифференцировании не нужно дифференцировать . Величина является параметром неоднородности для циклотронного резонанса с номером , играет важную роль в теории взаимодействия волна-частица в неоднородной плазме. Решение уравнений качественно отличается в зависимости от соотношения между неоднородностью и нелинейностью. Для того, чтобы это показать, удобно перейти к новой переменной :
тогда система уравнений примет вид:
где
В дальнейшем мы будем опускать индекс у переменных , и , так как мы рассматриваем конкретный резонанс с номером .
Система уравнений может быть записана как обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:
которое описывает движение частицы в потенциале:
Как было отмечено ранее, решение уравнений качественно отличается в зависимости от соотношения между коэффициентами и . Можно выделить две характерные ситуации. В первом случае мы будем говорить о сильной неоднородности (), тогда потенциал является монотонной функцией (см. Рисунок 3.1). Во втором случае мы будем говорить о слабой неоднородности (, функция имеет потенциальные ямы (см. Рисунок 3.2).
Рисунок 3.1 Эффективный потенциал в случае сильной неоднородности
Рисунок 3.2 Эффективный потенциал в случае слабой неоднородности
Система уравнений является финальной системой, к которой может быть сведена задача о движении заряженной частицы в поле монохроматической волны в неоднородной плазме. Таким образом, система играет важную роль в теории нелинейного взаимодействия волна-частица в неоднородной плазме. Детальный анализ этих уравнений для случая сильной и слабой неоднородности может быть найден в работе [20].
В случае сильной неоднородности, то есть , как будет показано ниже, время резонансного взаимодействия волна-частица много меньше характерного времени изменения параметров и . Таким образом, исследуя движения заряженной частицы, вблизи резонансной области, мы можем положить и постоянными.
В случае и , уравнение имеет интеграл движения , который совпадает с Гамильтонианом этого уравнения:
Тот факт, что для случая сильной неоднородности, потенциал является монотонной функцией фазы , позволяет выразить фазу как функцию потенциала и решить уравнение . Впервые решение уравнения было найдено Шкляром и Карпманом в работе [21]. Решение имеет вид:
где - функция Бесселя целого порядка , и - интегралы Френеля, определена в . Из решения следует, что характерное время резонансного взаимодействия в случае сильной неоднородности . Величина изменения , соответственно, , что видно из второго уравнения из .
3.4 Численное моделирование
Приближение уединенного резонанса не выполняется на интервале времени, сопоставимом со временем одного баунс-колебания. Для того, чтобы вычислить изменение энергии одной частицы за период баунс-колебания, необходимо решить полную систему четырех уравнений движения . В правую часть уравнений явным образом входят параметры квазиэлектростатической волны, такие как продольное () и поперечное () значение волнового вектора. Таким образом, для решения системы уравнений , необходимо вычислить модуль волнового вектора квазиэлектростатической волны и угол распространения волны ко внешнему магнитному полю вдоль траектории движения заряженной частицы. Кроме того, в правую часть уравнений входит амплитуда потенциала волны , которую так же необходимо вычислить.
Для расчета параметров волны вдоль траектории движения заряженной частицы, которая совпадает с линией постоянного , был осуществлен процесс моделирования распространения квазиэлектростатических волн. Волны не распространяются вдоль -оболочек, поэтому на экваторе, в широком диапазоне -оболочек, были возбуждены волны одной частоты, имеющие углы волновой нормали вблизи резонансного конуса. Задача считалась стационарной. Для каждой волны отслеживалась точка ее пересечение заданной -оболочки, где были вычислены все интересующие нас параметры. Пример такого расчета для представлен на Рисунке 3.3. Значения параметров волны в промежуточных точках были вычислены с помощью сплайн-интерполяции.
Для оценки зависимости потенциала волны от координаты было использовано приближение закона сохранения плотности потока энергии:
где - плотность энергии волны (см. ), - групповая скорость, - площадь поперечного сечения лучевой трубки. Амплитуда потенциала связана с амплитудой поля волны соотношением:
На Рисунке 3.4 представлены результаты расчета модуля волнового вектора квазиэлектростатической волны, угла направления волнового вектора относительно внешнего магнитного поля и потенциала волны в зависимости от синуса широты, который однозначно связан с координатой .
Рисунок 3.3 Демонстрация процесса расчета параметров волны вдоль заданной L-оболочки (L = 3)
Рисунок 3.4 Зависимость параметров квазиэлектростатической волны от синуса широты вдоль заданной L-оболочки (L = 3). Точки обозначают значения параметров пробной волны в точке пересечения ее с L-оболочкой, сплошная линия изображает сплайн-интерполяцию
В правую часть уравнений так же входит циклотронная частота электрона и ее производная, явный вид которых может быть получен из соотношения .
Изначальная система уравнений должна быть приведена к безразмерным переменным:
Здесь введены следующие безразмерные переменные: ; ; ; ; ; ; ; , где - радиус Земли, - циклотронная частота на экваторе на заданной -оболочке. Безразмерная переменная является синусом угла широты, справедливо следующее дифференциальное соотношение:
Система уравнений была решена с помощью явного алгоритма Рунге-Кутта, описанного в статье [22]. Алгоритм реализован в функции «ode23» в программе «MATLAB» (подробное описание может быть найдено в статье [23]).
На Рисунке 3.5 показано изменение кинетической энергии суб-релятивистской частицы, движущейся от экватора () к полюсу Земли (в область большего ). На Рисунке 3.6 показано изменение магнитного момента той же частицы. Частица движется вдоль линии постоянного в заданном поле квазиэлектростатической волны с частотой кГц.
Рисунок 3.5 Пример изменения кинетической энергии заряженной частицы за один баунс-период
Рисунок 3.6 Пример изменения магнитного момента заряженной частицы за один баунс-период
Из Рисунка 3.5 видно, что электрон, в процессе своего движения, сначала попадает в область циклотронного резонанса с номером . В результате резонансного взаимодействия электрон изменяет свою энергию, потом, за счет неоднородности, электрон «выходит» из резонанса. На языке резонансного условия это означает, что сначала выполняется резонансное условие для , затем, по мере движения электрона, резонансное условие изменяется и перестает выполняться, то есть электрон «выходит» из резонанса. Затем электрон движется в нерезонансной области и попадает в резонансную область, . Особенностью нулевого резонанса является то, что величина магнитного момента сохраняется при взаимодействии частицы с волной, что следует, например, из закона сохранения . Далее происходит отражение частицы от магнитной пробки и ее дальнейшее движение обратно к экватору. Двигаясь в противоположную сторону по отношению к направлению волнового вектора, частица взаимодействует с волной на циклотронном резонансе с номером .
Таким образом, за одно баунс-колебание частица может изменить свою энергию на величину порядка десятков эВ. При рассмотрении большого числа баунс-колебаний начинается диффузия частицы в фазовом пространстве, что может приводить к существенному увеличению кинетической энергии релятивистской или суб-релятивистской частицы.
В случае, когда частица захвачена волной, ее движение выглядит иначе. Электрон остается в резонансе с волной до тех пор, пока за счет увеличения неоднородности не выйдет из резонанса. Этот процесс продемонстрирован на Рисунке 3.7. Энергия захваченной частицы может измениться на величину порядка нескольких кэВ.