Материал: Моделирование работы гидропривода

5.2 Основные положения метода гарантированной точности

Повышение частоты автоколебаний безусловно способствует улучшению качества работы системы, однако не гарантирует, что установившееся значение ошибки при том или ином входном сигнале (отличном от 0) будет лежать в допустимых пределах.

Следовательно необходимо ввести требование, которое даст возможность заранее отбрасывать решения не удовляетворяющие требованию по точности

Используемый далее метод гарантированной точности сводит оценку ошибки при слежении в нелинейной релейной системе к оценке ошибки в некоторой линейной системе.

В дальнейшем начальные условия для следящей системы условимся всегда считать нулевыми, следящую систему - линейной и стационарной. Тогда каждому входному конкретному сигналу  соответствует свой сигнал ошибки . Максимум модуля этой ошибки на отрезке времени  обозначим .

.

Это значение может служить характеристикой точности воспроизведения следящей системой конкретного сигнала . Взяв максимум (полагая  компактом) от  по всем сигналам  из класса , найдём гарантированную точность (ГТ) следящей системы для класса , то есть величину, которая оценивает ошибку воспроизведения любого входного сигнала из класса  при длительности процесса . Обозначим её .

Гарантированная точность зависит от класса входных сигналов  и длины отрезка  и не убывает с ростом длительности интервала. Если ГТ не превосходит допустимой величины ошибки, можно сделать вывод об обеспечении необходимой точности. При этом если длина интервала выбрана, исходя из реального времени работы системы, можно не беспокоиться об устойчивости. Если же , устойчивость системы вытекает из условия

.                                             

Очень важен вопрос о формировании и задании класса входных сигналов V. Рассмотрим один из вариантов задания такого класса. Будем полагать, что входные сигналы v(t) сами являются выходными сигналами некоторой динамической системы, которую назовём задающим устройством (ЗУ). При этом задающее устройство, как на рис. 4.2, подвержено действию произвольного управляющего сигнала u(t), на который наложим единственное ограничение - в каждый момент времени должно выполняться неравенство

.

Ограничимся рассмотрением только линейных стационарных задающих устройств, причём всегда будем полагать у них все начальные условия нулевыми. Несмотря на все перечисленные ограничения, сконструированные указанным образом классы входных сигналов оказываются достаточно богатыми, а свойствами этих классов нетрудно управлять соответствующим выбором параметров задающего устройства. В частности, если порядок знаменателя передаточной функции задающего устройства превышает порядок числителя на n, то V будет содержать только непрерывные n - 1 раз дифференцируемые сигналы.

Будем в дальнейшем полагать, что класс V всегда состоит только из непрерывных функций, поскольку ясно, что изучение отслеживания разрывных сигналов не представляет ни научного, ни практического интереса. Кроме того, будем полагать, что ошибка слежения e(t) также всегда является непрерывной функцией времени. Это всегда справедливо для рассматриваемых в настоящей работе линейных систем.

Поскольку целью всего рассмотрения является оценка точности слежения системы, нас не будут интересовать процессы выхода на режим слежения. Это оправдывает принятое выше соглашение о нулевых начальных условиях в следящей системе. Тогда задача вычисления гарантированной точности принимает окончательный законченный вид.

Будем в дальнейшем называть систему, изображённую на рис.4.3 и состоящую из последовательно соединённых задающего устройства и следящей системы расширенной системой.

В выражении (4.1) теперь можно вместо максимума по v использовать максимум по u, и оно приобретает вид

Вычисление ГТ, как следует из (4.2) и рис. 4.3, становится равносильным максимизации ухода линейной системы за конечный (или бесконечный) отрезок времени. Эта задача для линейных систем с постоянными параметрами впервые рассмотрена и решена Б.В.Булгаковым. Там же показано, что ошибка достигает максимального значения именно в конечный момент времени, т.е.

.                                           

Поскольку и задающее устройство и следящая система - стационарные линейные системы, существует передаточная функция всей системы от входного сигнала задающего устройства u к сигналу ошибки e. Обозначим эту передаточную функцию , а обратное преобразование Лапласа от неё - . Последняя функция может рассматриваться как весовая (импульсная переходная) функция расширенной системы рис.4.3.

.

Тогда, в соответствии с известным интегральным соотношением вход-выход, имеем

Для вычисления гарантированной точности необходимо подобрать такое входное воздействие задающего устройства u(t), которое максимизирует ошибку в конечный момент времени Т. Ясно, что для этого в каждый момент времени должно выполняться условие , а знак  должен совпадать со знаком . Тогда из выражения (4.4) получаем конечное выражение для вычисления гарантированной точности:

Аналогичный результат был получен и Булгаковым в.

Известно, что весовая функция может рассматриваться как отклик (при нулевых начальных условиях) на единичную импульсную функцию (дельта-функцию Дирака).

В известном смысле предпочтительнее, чем вычисление интеграла (4.5), поскольку не требует получения весовой функции расширенной системы. Реализация дельта-функции, которая не может быть осуществлена точно, на самом деле и не требуется, поскольку вместо этого можно использовать систему без входного сигнала, но с ненулевыми начальными условиями.

Таким образом, вычисление гарантированной тонности в принципе не составляет проблемы. Рассмотрим теперь вопрос применения этой характеристики в анализе и синтезе систем автоматического управления.

Первое и наиболее очевидное применение гарантированной точности связано с оценкой точности САУ при отработке входных сигналов из заданного класса. Поставив задачу минимизации предельной ошибки отработки сигналов из заданного класса, мы получаем метод синтеза регулятора (корректирующего устройства) для системы автоматического управления.

Пусть следящая система, состоящая из регулятора и объекта управления, должна воспроизводить входные сигналы из заданного класса, описываемого известным задающим устройством.

.

Теперь передаточная функция от входного сигнала задающего устройства к ошибке, , зависит также от  параметров регулятора:  (s - комплексный аргумент в преобразовании Лапласа). Тогда ГТ также зависит от этих параметров:

.

Поставим задачу минимизации ГТ по этим параметрам. Такой подход позволяет рассматривать задачу расчёта регулятора как оптимизационную задачу, причём критерий оптимизации в данном случае имеет ясный содержательный смысл - наибольшая ошибка слежения, которая может возникнуть при отработке входных сигналов из заданного класса. При этом в принципе на параметры можно не накладывать никаких ограничений. На практике, однако, такие ограничения, скорее всего, будут. Кроме физической реализуемости, от регулятора вполне могут потребоваться какие-нибудь дополнительные свойства.

Расчёт регулятора для следящей системы при описанном выше подходе включает в себя следующие этапы:

. анализ имеющейся информации о входных сигналах;

. формирование задающего устройства;

. выбор структуры закона управления (регулятора);

. упрощение модели объекта управления;

. оптимизация параметров регулятора;

. моделирование синтезированной системы.

Важной задачей является подбор или построение задающего устройства. От того, насколько используемое задающее устройство адекватно реальной ситуации, зависит как качество управления в синтезированной системе, так и адекватность полученной оценки её точности. Решение данной задачи существенно зависит от той информации о классе входных сигналов разрабатываемой системы, которая известна на этапе синтеза регулятора.

Нередко входными сигналами для следящей системы являются выходные сигналы какой-либо другой системы. Так бывает, например, когда локатор следит за самолётом (самолёт - динамическая система, движение которой описывается своими дифференциальными уравнениями, и со своим управляющим воздействием, ограниченным по величине, которым может произвольно распоряжаться пилот). В этом случае в качестве ЗУ можно использовать линеаризованную модель такой системы - источника сигнала.

Значительно чаще встречается другой случай, когда известны некоторые предельные характеристики входного сигнала - максимальное значение сигнала, его максимальные скорость и ускорение, область достижимости в фазовом пространстве и т.д. При этом естественно попытаться построить простейшее линейное звено, удовлетворяющее указанным ограничениям. Для такого подбора необходимо иметь простой аппарат вычисления предельных отклонений и построения областей достижимости хотя бы для простейших линейных звеньев.

В рассмотренных выше ситуациях класс входных сигналов включает детерминированные сигналы, однако на практике так бывает не всегда - часто разработчик не имеет никакой информации о классе входных сигналов, кроме спектральной плотности. При этом сами входные сигналы рассматриваются как случайные. Возникает задача формирования ЗУ для отработки стохастического класса входных сигналов, описываемого в терминах статистической динамики.

Итак, первой критической для метода гарантированной точности задачей является формирование задающего устройства, для чего требуется инструмент формирования линейных звеньев либо с заданной областью достижимости, либо обеспечивающих заданную спектральную плотность при рассмотрении случайных входных сигналов.

Также важно эффективно, то есть быстро и точно, вычислять значение гарантированной точности. Поскольку задача синтеза регулятора рассматривается как задача оптимизации по критерию гарантированной точности, значение указанного критерия в ходе оптимизации неизбежно потребуется вычислять много раз. Выше приведены как общее выражение (4.5), позволяющее выполнить такое вычисление, так и схема (рис.4.4), моделируя которую также можно получить значение гарантированной точности. Однако аналитическое решение, как правило, ни в том, ни в другом случае невозможно, поэтому большое значение имеет применяемый численный метод. Разработка эффективного численного метода вычисления гарантированной точности составляет вторую критичную для описанной выше методики задачу.

Третья задача, подлежащая решению, это разработка алгоритма параметрической оптимизации регулятора при сложных ограничениях. В принципе, метод гарантированной точности как таковой не предполагает наложения каких-либо условий или ограничений на параметры регулятора. Однако это не исключает возможности использования подобных ограничений, призванных обеспечить некоторые дополнительные требования к системе. В частности, ниже в работе использовались в качестве таких ограничений степень устойчивости замкнутой системы и её колебательность, позволяющие мере контролировать качество переходного процесса в системе.

Заключение

В работе решена задача анализа и синтеза следящего гидропривода высокой точности.

С использованием законов гидродинамики, электромеханики была построена математическая модель системы. Полученная модель содержит нелинейные звенья и перекрестные связи, имеет высокий (десятый) порядок. Это усложняет синтез следящего гидропривода. Для решения поставленной задачи исходная модель была упрощена до четвертого порядка.

С применением метода гарантированной точности и фазового годографа получен закон управления, обеспечивающий точность слежения системой в скользящем режиме за классом входных сигналов.

Анализ системы с данным управлением показал, что она позволяет выполнить все требования по точности. Ошибка при этом не превышает 5мрад.

Исследование проводилось с использованием вычислительной техники. Моделирование моделей осуществлялось с помощью среды MatLAB.

Таким образом, получен регулятор, обеспечивающий требуемую точность системы.

Литература

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования.- М.: Наука, 1975. - 768 с.

1.         Гамынин Н.С. Гидравлический привод систем управления.-М.: Машиностроение, 1972. - 376 с.

3. Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автоматического управления. - М.: Наука. - 1981. - 336 с.

. Дьяконов В. MATLAB 6: учебный курс - СПб.: Питер, 2001. - 592 с.: ил.

. Макаров Н.Н. Методы анализа и синтеза систем управления высокой динамической точности. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Тула, ТулГУ, 2001.

. Макаров Н.Н., Макарова Н.Н. Синтез регулятора методом гарантированной точности. //ММЕЕ - 12. Сб. трудов Международной научной конференции в 5-ти т. Т 5. Великий Новгород. Новгородский государственный университет. 1999. - С145-147.

. Прокофьев В.Н., Казмиренко В.Ф. Проектирование и расчет автономных приводов. /под ред. Прокофьева В.Н.-М.: Машиностроение, 1978. - 232 с.

. Фалдин Н. В. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления - Тул. политехн. ин-т. Тула, 1990. - 100 с.

. Попов Д.Н. Динамика и регулирование гидро- и пневмосистем: Учебник для вузав по специальностям “Гидропневмоавтоматика и гидропривод” и “Гидравлические машины и средства автоматики”. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1987. - 464 с. ил.

. Савин И.В., Сафонов П.В. Основы гидравлики и гидропривод: Учебник для строительных техникумов. - М.: Высш. школа, 1978. - 222 с., ил.