Материал: Модели портфельного инвестирования

N(n)=,       (5)

где ξ(k) представляет собой остаток регрессии. Угол наклона прямой регрессии и равен показателю Херста ряда . Таким образом, полагая для краткости k0=2 (минимальная длина выборки), имеем по формулам регрессионного анализа

HN(n)= .       (6)

Поскольку длина выборки  , то в формуле (6) можно использовать формулу Стирлинга для аппроксимации факториала, и в пренебрежении отличием N-1 от N получить более компактное выражение

HN(n)=          (7)

В результате при фиксированной длине выборки N получаем набор показателей Херста на последовательности шагов с номерами n. Для маркированного же временного ряда можно ввести несколько аналогов показателя Херста, совпадающих в случае эквидистантного ряда, но имеющих различное вероятностное содержание в общем случае.

Во - первых, показатель Херста, зависящий от продолжительности τ времени накопления размаха, можно определить непосредственно по выборке, заключенной внутри соответствующего промежутка. Для этого зададим промежуток времени T, внутри которого вычисляется показатель Херста, и снабдим номер события n указанием на момент времени t, когда это событие произошло. Время T естественно измерять в единицах времени агрегирования данных, поскольку наблюдаемый процесс не является непрерывным в строгом смысле этого понятия. Предполагается, что единичный шаг по времени выбран таким, чтобы эмпирическая вероятность наличия в нем минимального числа событий была бы отлична от нуля. Пусть, например, единицей агрегирования по времени будет 1 минута. Тогда величина τ, как и в случае с длиной выборки, будет целочисленной величиной, изменяющейся от  до T. Формально определения всех величин (1-4) остаются прежними, но в этих формулах следует положить n=n(t), а k=k(τ) есть число событий за промежуток τ, отсчитанный назад от момента t. Логарифм накопленного размаха в новых переменных обозначим ŋ(t,τ)=. После этого временной показатель Херста hT(t) определяется как коэффициент в регрессионном приближении

ŋ(t,τ) - T(t) =hT(t)*(T(t) =           (8)

Недостаток определения (8) состоит в том, что в разные моменты времени t в промежутках одинаковой длительности содержится различное число событий, иногда различающееся на порядки, а тогда коэффициенты hT(t), строго говоря, не сопоставимы.

Второй вариант анализа накопленного размаха как функции времени состоит в усреднении регрессии (5) по интенсивности событий. Поскольку промежутки времен наступления k-ых событий случайны, естественно ввести вероятность того, что в промежутке времени τ произошло ровно k событий. Например, для стационарного пуассоновского потока событий с интенсивностью µ эта вероятность дается формулой

() =  .      (9)

Введем среднюю по распределению (9) величину накопленного размаха за время  с учетом перенормировки на число событий, начинающееся с двух,

(t,)= ,  (10)

и усредним регрессионное соотношение (5) по распределению (9). Тогда получаем

(t,)- T(t)=T(t)*(ɑ()-T) (11)

где

T(t)=, ɑ()=, T=.  (12)

Величина T(t) является коэффициентом регрессии на модифицированное логарифмическое время , связанное со средневзвешенным логарифмом числа событий. Рассматривая вместо величины  величину b()=exp(), получаем, что аналогом длины выборки в терминах времени является величина b(), т.е. рассматривается регрессия среднего логарифма нормированного размаха S на ln b. Такой подход отвечает рассмотрению процесса во времени, которое течет с разной скоростью в зависимости от интенсивности потока событий. Однако это может быть не очень удобно, если требуется анализировать динамику в реальном времени.

Третий вариант определения аналога показателя Херста состоит в пересчете показателя HN(n) использованием вероятности числа событий, произошедших за время T. В соответствии с (9) полагаем, что

T(t)= , (13)

где Nmin, Nmax представляют диапазон, в котором заключено число событий за интересующее нас время T.

1.4 Дельта нейтральная стратегия

Хеджирование - это уменьшение чувствительности портфеля к движению цены базового актива путем занятия противоположных позиций в различных финансовых инструментах. Величина  называется дельтой опциона и показывает на сколько изменится цена опциона при изменении цены базового актива. Эта величина имеет большое значение и в теории, и в практике. Дельта активно используется при хеджировании. Важное свойство дельты заключается в том, что она аддитивна, то есть трейдеру, управляющему портфелем опционов, не нужно хеджировать по отдельности каждый опционный контракт. Достаточно определить  всего портфеля, которая будет равна n = n11 + n22 + ...nmm , где nm,m - соответственно количество и дельта m-го опционного контракта, которую и следует использовать при хеджировании.

Дельта-хеджирование может использоваться в двух направлениях:

1.       Маркет-мейкерами, которые обязаны поддерживать свои позиции в опционах, для защиты от рыночных рисков.

.        Крупными участниками, которые имеют низкие транзакционные издержки, для увеличения прибыли.

Основная идея заключается в том, чтобы на начальном этапе определить переоцененные опционы и построить хеджированную позицию путем продажи опционов и занятия противоположной позиции в базовом инструменте в количестве дельта. В дальнейшем величина спотовой позиции регулируется в зависимости от величины дельта. Этим достигается защита от рыночных рисков и получение прибыли.

В реальности цена опциона зависит от большого количества факторов. Здесь, как и ранее, делается упрощающее предположение, что она зависит только от следующих переменных факторов: времени до истечения контракта t, спотовой цены базового актива S, ставки без риска r и волатильности  базового инструмента. То есть при тех же предпосылках, при которых выведена формула Блэка - Шоулза, для цены опциона колл на акцию можно записать: C = f (S, r, t,  ). Для опциона на фьючерсный контракт величина S будет заменена спотовой ценой базового фьючерса F: C = f (F, r, t,  ).

Основной фактор риска - это спот цена базового актива. При выводе формулы Блэка-Шоулза устанавливается, что владение опционом эквивалентно владению долей базового актива, когда величина этой доли динамически изменяется во времени, и некоторыми безрисковыми облигациями.

Для опциона колл при росте спотовой цены величина позиции в базовом активе увеличивается, при снижении цены - уменьшается. Можно показать[8,9], что для европейского опциона колл на фьючерсный контракт:

(d1) , где d1= .

Дельта для опциона колл всегда положительна и меньше единицы.

Аналогично для опциона пут на фьючерсный контракт можно показать:

(d1)-1)

дельта в данном случае всегда отрицательна и больше -1. Владение пут-опционом эквивалентно короткой позиции по базовому активу в размере D в сочетании с некоторыми облигациями [11]

Глава 2. Расчет портфеля ценных бумаг методом Марковица

В рамках темы магистерской диссертации произведен расчет оптимальной границы портфелей ценных бумаг методом Марковица на основе исторической волатильности, а так же с учетом подразумеваемый (implied) волатильности полученной из стоимостей производных финансовых инструментов. Был проведен ретроспективных анализ (на исторических данныхи формирование портфеля ценных бумаг с отслеживанием динамики и устойчивости портфелей к рыночным колебаниям.

При тестировании предполагается проводить фильтрацию инструментов (акций) с сильно негативным движением в пределах короткого временного промежутка. На графике ниже можно наблюдать изменение размера моделируемого депозита с применением подобной фильтрации и без.

Рис. 1. График построен на основании требуемой ежедневной доходности 0,22% длине периодов 200 торговых дней, фильтрации акций (игнорирование торговых сигналов) при изменении стоимости более чем на 3% в негативную сторону в день. Российский рынок

2.1 Выбор параметров модели

Для построения и практического применения портфелей, построенных по теории Марковица, необходимо определить ряд параметров:

.        Длина исторических данных. Используются для расчета коэффициентов корреляции и стандартного отклонения.

.        Частота переформирования портфеля. Как часто необходимо переоценивать кривую эффективных портфелей и переформировать портфель.

.        Требуемая доходность портфеля. Определяет выбор портфеля на кривой и соответствующий ему риск.

Для определения наиболее благоприятного уровня доходности, предлагается определить вектор значений риска, соответствующий вектору требуемых доходностей. И вычислить отношение доходность/риск для каждого значения вектора, далее выбрать требуемую доходность, соответствующую наибольшему значению отношения. При этом, необходимо отметить, что получаемый коэффициент носит исторический характер и не гарантирует сохранение тенденций в будущем. Поэтому до момента определения оптимальной частоты переформирования портфеля предлагается

Оценка минимально необходимой длинны истории для вычисления портфеля в соответствии с теорией Марковица. На гистограмме ниже можно наблюдать примерно равное распределение логарифма отношения цены закрытия дня t к цене закрытия дня t-1. При этом распределение не смещенное, что говорит о примерно нулевом математическом ожидании доходности.

Рис. 2. Гистограмма наблюдений логарифма изменения дневной цены закрытия акции компании Аэрофлот за период с 2010-02-08 по 2016-02-08

Для оценки минимально необходимой истории воспользуемся экспонентой Хёрста. Как видно на графике ниже, при расчете коэффиента последовательно для временных рядов, состоящих из значений логарифмической доходности от T до T+500 значение показателя максимизируется для временного ряда, содержащего 322 предыдущих значения.

Рис. 3. Показатель Хёрбста для часовых котировок акции Сбербанка в зависимости от длинны временного ряда

Используется следующий алгоритм расчета коэффициента Хёрста:

.        Строим временной ряд для акции, состоящий из N последних значений

.        Вычисляем показатель Хёрста для данного отрезка временного ряда