Материал: Модели портфельного инвестирования

Модели портфельного инвестирования

Введение

В данной работе предполагается рассмотреть российский срочный и спотовый рынок, а так же использовать акции иностранных фондовых рынков, полный список которых представлен в основной части работы, для иллюстрации примеров. Преимущество отдается торгуемым на фондовых биржах инструментам с высокой ликвидностью, на основе которых возможно построение торговой стратегии. Для построения портфелей ценных бумаг по теории Генри Марковица используются курсы акций российских и немецких компаний рассчитанные по ценам закрытия торговых дней.

Основную часть работы занимает рассмотрение вопросов определения параметров модели Марковица, таких как:

·        Какой длинны необходимо использовать временной (исторический) ряд для каждой из бумаг (акций) для достоверного определения доходности/риска бумаги в портфеле бумаг?

·        Портфель с каким соотношением риска/доходности необходимо выбрать на кривой Марковица в каждом из моментов времени?

·        Как часто необходимо производить переформирование портфеля акций?

Кроме того, ставится вопрос определения критериев оценки эффективности полученных результатов.

В данной работе анализ стабильности портфеля ценных бумаг понимается как стабильность его двух главных характеристик: доходности и риска. Так же рассматривается вопрос стабильности состава (структуры) портфеля во времени.

Портфельная теория Марковица отличается глубокой научной проработанностью, на данную тему было проведено множество исследований опираясь на которые возможно рассмотреть вопросы стабильности параметров генерируемых портфелей и их внутренней структуры.

В качестве инструментов анализа, в работе преимущественно использован язык программирования Python 3.5 позволяющий проводить статистические исследования, а так же дополнительные модули статистической обработки данных. Программный код, использованный в исследовании, приведен в приложениях к работе и может быть использован для продолжения исследования или уточнения полученных результатов.

Актуальность работы состоит в высокой прикладной ценности исследование рынка ценных бумаг и выявления оптимальных инвестиционных портфелей, а так же необходимости анализа и доработки существующих портфельных теорий с использованием возможностей современных информационных технологий к быстрым вычислениям и способности в ограниченные временные сроки переформировывать портфель ценных бумаг.

Объектами исследования является портфели ценных бумаг.

Предметами исследования стабильность требуемой доходности и состава портфеля во времени во времени

Основными методологическими источниками являются работы У.Ф. Шарпа, публикации в научных журналах (в т.ч. Высшей Школы Экономики), а так же публикации исследований на иностранных языках. В качестве источника данных (котировок финансовых инструментов) для анализа выступают интернет сервисы Yahoo Finance [#"907634.files/image001.gif">

и вместо символа актива использовать его номер (индекс).

Множество различных состояний рынка (значений цен активов) обозначим через S, а отдельное состояние будем обозначать строчной буквой j или буквой s с индексом

и т.п.

Множество состояний может быть в принципе любым, в том числе и бес конечным. Однако для упрощения изложения мы будем считать множество конечным.

Каждому состоянию s припишем некоторую вероятность - неотрицательное число р(s).

На языке теории вероятностей это означает, что пара <S, р>, состоящая из множества S и вероятностей меры p, образует дискретное вероятностное пространство. Мера p дает вероятности лишь отдельных (элементарных) состояний. Ее можно продолжить на произвольные множества состояний.

Построение вероятностного пространства <S, Р>, где Р - вероятная мера, определенная на произвольных множествах событий, - первый этап в построении вероятностной модели рынка. Следующим этапом является формализация понятия доходности и риска.

В модели Марковица предлагается выполнить эти шаги следующим образом. Каждому активу a ставится в соответствие случайная величина , представляющая доходность этого актива для выбранного инвестиционного горизонта Т. Ее конкретное значение или реализация - это значение доходности , которое инвестор может вычислить по прошествии инвестиционного периода.

Так же возможно вместо распределений доходности использовать лишь важнейшие количественные характеристики случайной величины - ее математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.

Если R - случайная величина, заданная на дискретном вероятностном пространстве <S, р>, то ее математическим ожиданием называется число, определяемое выражением:

В теории Марковица математическое ожидание есть формальный аналог понятия «ожидаемой доходности» [16].

Следующей важнейшей характеристикой случайных величин является дисперсия, которая характеризует «степень отклонения» (разброс) случайной величины от ее среднего значения. Ее также называют (особенно в финансовой литературе) вариацией. Дисперсия задается выражением:

Дисперсию можно вычислить и по распределению случайной величины:

Здесь  - математическое ожидание случайной величины R.

Из определения дисперсии видно, что она имеет размерность квадрата размерности величины R [35]. Для того чтобы использовать в качестве меры разброса характеристику той же размерности, вместо дисперсии часто используют среднеквадратичное или стандартное отклонение:

В модели Марковица дисперсия или, что, по существу, то же самое, стандартное отклонение служит мерой риска актива. При этом принимается важное соглашение, состоящее в том, что инвестор при принятии инвестиционных решений основывается лишь на упомянутых двух характеристиках активов и их портфелей: ожидаемой доходности, представляемой математическим ожиданием, и риске, представляемом дисперсией. Такой подход получил в англоязычной финансовой литературе название “mean - variance approach» (mean - среднее, variance - вариация, дисперсия). Следует отчетливо понимать, что упомянутое соглашение есть постулат портфельной теории Марковица [17]

Выбор двух количественных характеристик или критериев - ожидаемой доходности и риска - делает задачу выбора оптимальной стратегии инвестирования двукритериальной. Если эта стратегия состоит в инвестировании всего капитала лишь в актив одного вида, то необходимо, чтобы он был наилучшим сразу по двум этим критериям, т.е. обладал наибольшей доходностью и наименьшим риском.

На основании этого можно говорить о задачах оптимизации портфеля ценных бумаг

.        Минимизация риска при заданном уровне доходности

2.       Получение максимальной доходности при заданном риске

Где  - доля инвестиций в i-ую акцию,  - среднеквадратичное отклонение доходности акции i,  значения корреляционной матрицы.

Предположим, инвестора удовлетворяет любая доходность превышающая минимальную ставку r, но не устраивает большой риск имеющихся активов. В этом случае инвестор вместо выбора одного актива, скорее всего, составит портфель из них, стремясь по возможности «диверсифицировать» (перераспределить) риск с целью уменьшения его количественной оценки. Степень возможности такой диверсификации зависит от характеристики, служащей мерой связи (в вероятностном статистическом смысле) между случайными величинами, представляющими доходности активов. Речь идет о ковариации. Для любых двух случайных величин  и , определенных на вероятностном пространстве <S, p>, эта характеристика определяется следующим образом:

Заметим, что в случае совпадения случайных величин, т.е. , ковариация превращается в дисперсию:

На ковариацию влияет не только связь между величинами  и , но и их дисперсии. Чтобы выделить меру собственно связи между случайными величинами, прибегают к нормированию ковариации. Такая нормированная величина называется коэффициентом корреляции:

Параметрическая модель рынка, или рынок по Марковицу описывается тройкой [16]:

где  - конечный набор активов, составляющих рынок,

 - вектор ожидаемых доходностей, т. е.  - математическое ожидание случайной величины , представляющей доходность актива  за выбранный инвестиционный период Т, а  - ковариационная матрица порядка n,где  - ковариация случайных величин  и  причем в случае i=j:  т. е. диагональные элементы  задают дисперсию (риск) активов. Марковиц разработал очень важное для современной теории портфеля ценных бумаг положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. С одной стороны, это так называемый рыночный (систематический) риск, который нельзя исключить, и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. С другой - собственный (или несистематический) риск для каждой конкретной цепной бумаги, который можно избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг.

В рамках данной работы будет использован метод формирования эффективных портфелей Марковица, предложенный Хуаном Литценбергером [31]. Метод предполагает возможность открывать как длинные так и короткие позиции. Для всех предложенных акций будет рассчитана предполагаемая доля в составе эффективного портфеля, при этом данное значение может быть очень близко к нулю (в таком случае при фактическом конструировании портфеля значение будет игнорировано) [36]

1.3 Экспонента Хёрста

Показатель Херста - критерий по определению временных рядов со случайным смещенным блужданием. Создатель этой статистики - Херст, гидролог, изучавший в первой половине ХХ века движение потоков воды в долине Нила.

Основным достоинством критерия Херста является его устойчивость к априорному распределению временного ряда. Э. Петерс выделяет три различных интервала для показателя Херста:

1.       H = 0,5

2.       0 <= H < 0,5

3.       0,5 < H <= 1

Рассматривается одномерный временной ряд x(n), где номер n некоторого элементарного события отвечает случайному моменту времени t(n), что параметрически определяет функцию действительного переменного x(t) на некотором дискретном множестве точек - теоретически счетном, но на практике конечном. В качестве ряда x(n) обычно берется ряд первых разностей изучаемого процесса x(n)=c(n+1)-c(n) или, как вариант, ряд логарифмических приростов x(n)=ln(c(n+1)/c(n)) [8]

Показатель Херста для ряда c(n) определяется следующим образом [5]. Вводится скользящее среднее приростов x(n) на шаге n по выборке длины k

 (n, k)= (1)

и вычисляется накопленное отклонение от среднего для выборки длины k:

R(n, k)=. (2)

Вычисляется также скользящая дисперсия рассматриваемого временного ряда по выборке длины k :

,     (3)

после чего вычисляется логарифм отношения размаха к шуму

ξ(n,k)=        (4)

Фиксируется некоторая минимальная длина выборки k0 и максимальная длина N, которая отвечает временному горизонту анализа. Описанная процедура (1-4) делается для выборок длин k таких, что 1k0kN. Показатель Херста HN(n) по выборке длины N на шаге n определяется как коэффициент регрессии величины ξ(n,k) на логарифм длины выборки:

ξ(n,k) -N(n)  ,