ния. Здесь же рассмотрен вопрос о том, насколько существен но отклонение от гауссовского закона распределения мгновен ных значений процесса нагружения влияет на прогнозируе мую долговечность в практически важном случае, что по зволяет с некоторым приближением установить рамки приме нимости общепринятой модели случайной нагрузки.
Предположим, что прочность случайно колеблющейся конструкции определяется напряжением а (£) в наиболее
опасном месте, и допустим, что в конструкции возбуждает ся одна резонансная форма колебаний. В этом случае а {£)
является узкополосным случайным процессом. Рассматри вая а (t) как обобщенную координату, уравнение движения
по одной форме колебаний можно записать в виде
о -f- со2а + еФ (сг, а) = g (t), |
(4.38) |
где со — собственная частота системы в отсутствие демпфи рования; еФ (а, а) — функция, описывающая рассеяние
энергии в конструкции при колебаниях на данной резонирую щей форме; 8 — малый параметр, отражающий относитель ную величину рассеиваемой за цикл энергии; g (t) — обоб
щенное возбуждение типа нормального белого шума, по Р. Л. Стратоновичу [17, 1631 (производная от винеровского
процесса), с нулевым математическим ожиданием и интенсив-
о
ностыо as (имеющей порядок в).
Как показано в работах Г. С. Писаренко, рассеяние энер гии в материале упругой системы можно описать с помощью гипотезы Н. Н. Давиденкова [123, 1241. Возможность приме нения этой гипотезы для изучения случайных колебаний упругих систем с нелинейным рассеянием энергии обоснова на В. М. Гончаренко в работе [481.
Для нахождения плотности вероятности р (а) амплитуд
процесса применим теорию марковских процессов. Посколь ку методика нахождения функции р (а) изложена в работах
[15, 17, 48], ниже приводятся только основные этапы вычис лений.
В уравнении (4.38) сделаем замену переменных: |
|
||||
|
a (t) = А (t) cos ф (f); |
и (t) — — A (f) to sin ф (t); |
|
||
|
|
ф (0 = |
ctf + |
9 (0 , |
(4.39) |
где A |
(t) |
и 0 (/) — огибающая |
и фаза процесса a (t). |
Для |
|
функций А и 0 получим следующие уравнения: |
|
||||
А = |
1 |
[еФ (A cos ф, — A tosin ф) sin ф — g (t) sin ф]; |
|
||
— |
|
||||
|
" |
|
|
|
(4.40) |
0 = [еФ (A cos ф, — Аы sin ф) cos ф — g (t) cos ф].
Плотность распределения вероятностей р (а, ф) удовлет
воряет уравнению Фоккера |
Планка — Колмогорова |
||||
|
|
dsip |
( а д + 4 - - £ - ( хиР) + |
|
|
|
1 |
д‘ |
а2 |
|
(4.41) |
+ |
Т |
<х22?) + |
дадф (Xl2Р). |
|
|
где |
|
|
|
|
|
Xi («» Ф, *) = |
— |
Ф (a cos ф, — а© sin ф) sin -ф + |
О^ COS2 ф |
||
*ы ч |
; |
||||
|
|
|
|
|
(4.42) |
|
Р |
^ I -----1- |
— |
^.f.V « >I- |
Хг (а, ф, t) = |
*■* |
|||
саа |
(a cos ф, |
— а© sin ф) cos ф — |
||
(Лsin ф cos ф
а _______ •
2М а-(0
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.43) |
|
|
о? sin 3 ф |
|
|
COS2 ф |
|
||
|
|
— _ i |
; |
(а , ф , |
*) = |
со2а2 |
; |
(4.44) |
Хп (а* Ф> 0 — |
||||||||
|
|
X,, (а, ф, |
() = |
о? sin ф cos ф |
|
|
(4.45) |
|
|
|
- « -------------- |
|
|
||||
|
|
|
|
дат |
|
|
|
|
Отметим, |
что уравнение |
Фоккера — Планка — Колмо |
||||||
горова |
при |
интерпретации g |
(I) как белого шума |
в смысле |
||||
Ито не |
отличается от |
соотношений |
(4.41) — (4.45), |
если |
||||
учесть при выводе уравнений (4,40) формулы Ито для стоха стических дифференциалов [112].
Применяя принцип усреднения Р. 3. Хасьминского к дифференциальному оператору параболического типа (4.41), усредняем коэффициенты Xi Ху по явно содержащемуся
времени |
ф: |
|
|
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
|
|
|
*i<e-¥>—SrJ |
0) Ф (a cos ф, — аа>sin ф) sin ф + |
|
|||||
I |
в»008** |
1 ^ _ |
Д(°> |
, |
°« . |
|
|
+ |
2со2а |
aV |
« |
+ |
2оа>2 » |
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
(4.46) |
Х2 (а,ф) |
|
соа |
Ф (асоэф, |
— а© 8тф )созф — |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2а2а>2 |
|
а со |
|
|
||
|
|
|
|
|
•> |
|
|
Хц(а, ф) |
|
Х22(«. Ф) = b)'Jaa |
f Ф12 (а, ф) = О, |
|
|||
R (a) = |
— L j |
ф (a cos ф, |
— aco sin ф) sin |
|
(4.47) |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
|
Q (a) = |
~2^- j |
Ф (a cos ф, |
— a<s>sin ф) cos ф d\p. |
(4.48) |
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Рассматривая |
стационарные |
колебания |
= 0), |
полу- |
||||
чаем, что фаза распределена равномерно о р (а, |
ф) = |
X |
||||||
X р (а), откуда |
следует уравнение для р (а): |
|
|
|||||
— j r 1д <“> р/«>] - |
i L |
& |
\ |
, 1 |
J |
= 0. |
(4.49) |
|
2oj2a |
} ' |
2 |
d a 1 |
|||||
Функция aR (а) — величина |
рассеиваемой |
энергии за |
||||||
цикл колебаний (на единицу массы), и поэтому для большин ства конструкционных материалов допустима степенная ап
проксимация этой |
функции: |
|
|
R (а) = — га”, |
(4.50) |
где п — параметр |
петли гистерезиса материала |
(для случая |
амплитудно-независимого трения п — 1); г — величина, за
висящая от параметров петли гистерезиса и от формы коле баний конструкции.
Из дифференциального уравнения (4.49) получим следу
ющее выражение для р (а) |
с учетом граничных условий на |
|||
бесконечности р (а) |
0 и |
0 при а |
сю: |
|
р (а) = са ехр (— pan+J), р. = |
2шг |
(4.51) |
||
|
||||
|
|
(я + 1)o2g |
|
|
Из формулы (4.51) |
находим |
среднеквадратическое значение |
||
процесса a (t): |
|
|
|
|
о?к = Е С<42 cos2 ф) = |
~ J а2р (a) da = -у- ^ |
а3 ехр (— рап+1)с?а. |
||
|
о |
г о |
|
|
|
|
|
|
(4.52) |
|
|
|
|
оо |
Используя выражения (4.51), (4.52) и условие J р (a)da =
о
= 1, выразим с и |х через п и ис„:
(4.53)
В |
случае, если и — 1 (ам- |
Рис. 81. Распределенве амплитуд |
плитудно-независимое тре- |
узкополосного процесса при раз- |
|
иие), |
распределение (4.53) |
личных значениях л. |
превращается в распределе ние Рэлея, справедливое для амплитуд узкополосного гаус
совского процесса [14]. Для большинства конструкционных материалов п изменяется от 1 до 3. На рис. 81 представлены
графики р (—— ) для различных значений п.
Рассмотрим вопрос о влиянии на прогнозируемую устало стную долговечность отклонения распределения амплитуд согласпо выражению (4.53) от распределения Рэлея [31, 32]. Для этого в формулу линейного суммирования подста вим плотность распределения (4.53) и получим следующее выражение для числа максимумов до разрушения:
|
|
N п — |
(п - f 1) Яц}?+2)/(Т1+1) |
(4.54) |
|
|
6 + 2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
п + 1 |
|
где Г (и, |
v) — неполная гамма-функция. При п = 1 форму |
|||
ла (4.54) приобретает вид (4.30). |
|
|||
На рис. |
82 показана |
зависимость N J N j от а при п = 2 |
||
и п — 3 |
и |
различных |
значений Ъ в полулогарифмической |
|
системе координат. Анализ графиков показывает, что форму ла (4.54) при п = 1 предсказывает меньший срок службы конструкции, чем при п > 1, причем это расхождение мо жет быть весьма значительным. Величина N J N j возрастает при увеличении параметра петли гистерезиса п и при уве
личении се. Это объясняется тем, что существенный вклад в повреждаемость материала дают выбросы случайного процес са нагружения с малой вероятностью появления, которая, как видно из рис, 81, уменьшается с увеличением п.
Полученные результаты показывают, что для более точ ного прогнозирования усталостной долговечности конструк ции необходимо привлекать экспериментальные данные о распределении плотности вероятностей амплитуд напряжений
в материале конструк ции, а при проведении усталостных испытаний при случайном нагруже нии на установках резо нансного типа необхо димо учитывать нели нейные эффекты, связан ные с конструкционным гистерезисом и рассея нием энергии в матери але резонансных узлов испытательной устано вки.
Следует отметить, что полученные резуль таты, точность которых соответствует точности
Рис. 82. Зависимость Л/п/Л/, от а при
первого приближения
различных значениях b u n .
метода Крылова — Бо
голюбова, не зависит от формы петли гистерезиса и основываются только на степен ной зависимости рассеиваемой энергии от амплитуды.
6.СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТНЫХ МЕТОДОВ
ИЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДОЛГОВЕЧНОСТИ
Впредыдущем параграфе рассмотрен вопрос о вычислении
величины К д, используемой в расчетах по линейной гипоте
зе долговечности при случайном нагружении с учетом формы спектральной плотности нагрузки. Однако применимость гипотезы линейного суммирования не всегда обоснованна, поэтому в данном параграфе представлены результаты со поставления экспериментов и расчетов по различным гипоте зам накопления повреждений для выбора расчетных формул, удовлетворительно прогнозирующих долговечность при слу чайном нагружении.
В работах [202, 221, 236] приведены результаты испыта ний алюминиевого сплава 2024 (аналог Д16) при случайном нагружении. Процессы нагружения представляли собой ГССП с различными формами спектральной плотности. В каждой из этих работ приведены формы спектральных плот ностей, а также кривые усталости при регулярном и случай ном нагружении. Для каждой из использованных форм спек тральной плотности методом СМ рассчитывались К э по ме-