Материал: Многоцикловая усталость при переменных амплитудах нагружения

конструкции. В этом случае распределение амплитуд дейст­ вующих нагрузок и, следовательно, оценки надежности и долговечности могут быть получены с помощью метода СМ по измеренным спектральным плотностям мощности случай­ ных нагрузок.

2. УЧЕТ В РАСЧЕТАХ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАЗБРОСА ЗНАЧЕНИЙ НАКОПЛЕННОГО ПОВРЕЖДЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННОГО СЛУЧАЙНЫМ ХАРАКТЕРОМ НАГРУЖЕНИЯ

Для прогнозирования числа максимумов до разрушения при случайном нагружении необходимо иметь данные о характе­ ристиках сопротивления усталости при регулярном нагру­ жении, плотность распределения р (а) амплитуд полных цик­

лов (полученную схематизацией случайной нагрузки) и в слу­ чае применения гипотез накопления повреждений, отличных от линейной, значения некоторых дополнительных пара­ метров.

Повреждающее действие нагрузки характеризуется вели­ чиной

°тах

°min

которая используется в выражениях для прогнозирования долговечности по различным гипотезам накопления повре­ ждений. При этом для гипотезы линейного суммирования (3.3) значение d совпадает с значением параметра Ъстепенно­

го уравнения кривой усталости (3.9). Для ГССП нагружения величина П определяется спектральной плотностью мощно­ сти случайного процесса W (/). Коэффициентом масштаба,

или характеристикой интенсивности, гауссовских стационар­ ных случайных нагрузок с одинаковым распределением от­ носительной мощности по частотам процесса является GKO (тск, определяемое по W (/) согласно выражению (2.17). Ве­

личина (ГСк является для случайных нагрузок аналогом ам­ плитуды гармонического нагружения. Поэтому случайное нагружение характеризуется величиной Оси и нормирован­ ной спектральной плотностью (для процесса с нулевым сред­ ним);

Если ввести в рассмотрение плотность распределения ампли­ туд циклов, полученных в результате схематизации процес­

>■ 3 -т- 4) значение интеграла слабо зависит от выбора верх­ него предела интегрирования и поэтому с достаточной сте­ пенью точности этот предел можно положить равным беско­ нечности. Нижний предел интегрирования во многих слу­ чаях можно положить равным нулю с учетом понижения исходного предела выносливости в процессе нерегулярного циклического нагружения с перегрузками. В связи с изло­ женным повреждающее действие нагрузки определим ве­ личиной

матизации. Влияние на расчетное значение циклической долговечности методов схематизации, а также статистиче­ ских характеристик гауссовских нагрузок можно исследо­ вать путем численных расчетов, рассматривая характер

использования схематизации методом полных циклов наи­ более рациональным способом определения Е (х?) является

метод статистического моделирования случайного процесса нагружения. С помощью моделирования и схематизации конечных реализаций случайной нагрузки можно получить

оценки xd величины Е (xd) по формулам, следующим из

выражения (4.5)}

где Х{ — амплитуды полных циклов, выделенных в процессе схематизации реализации из М максимумов.

В связи со случайным характером нагрузки величина х? также является случайной и варьирует от реализации к

реализации. Поскольку число экстремумов в обрабатыва­ емых реализациях достаточно велико {порядка сотен), ес­ тественно применение центральной предельной теоремы [701 п принятие предположения об асимптотически нормальном

боре длины обрабатываемой реализации для получения до­ стоверных оценок Е (д^). Аналогичная задача возникает при

определении длительности реализации эксплуатационной нагрузки, применяемой при лабораторных испытаниях, в процессе которых нагрузка задается периодически повто­ ряющимся отрезком процесса ограниченной длины.

Анализ накопления повреждений может быть произве­ ден и на основе теории марковских процессов [69, 79, 100, 140, 159, 254]. Модель накопления повреждений как марков­ ского процесса применима в случае многоциклового случай­ ного нагружения, когда время корреляции нагрузки много меньше характерного времени изменения накопленного пов­ реждения.

В работах [69, 254] для процессов ползучести и длитель­ ной прочности рассмотрены вопросы определения статисти­ ческих характеристик накопленного повреждения с по­ мощью аппарата теории марковских процессов в виде урав­ нения Фоккера — Планка — Колмогорова. Полученный в работе [254] результат о нормальном распределении меры повреждения уточнен в работе [69], где показано, что адек­ ватным является усеченное снизу нормальное распределение.

К вопросу о виде распределения з? по реализациям можно

подойти с позиций теории марковских процессов. Рассмотрим величину П (п) как меру повреждающего

действия случайной нагрузки, содержащей п максимумов:

Для случая многоциклового случайного нагружения можно рассматривать п как непрерывную величину, П (п) — как

марковский процесс с непрерывным временем. Это обосно­ вывается тем, что время корреляции процесса Х[ значитель­ но меньше характерного времени изменения величины П (п)

[14]. Мера повреждающего действия согласно формуле (4.7) обладает свойством аддитивности (т. е. мера повреждения от двух последовательных отрезков нагружения суммирует­ ся) и независимости (повреждение не зависит от последователь­ ности приложения нагрузки). Предположение о зависимости распределения П (п) при п > п0 только от П (п0) и незави-

выводы о виде плотности распределения р (П, п). При доста

точно больших долговечностях процесс изменения мерь, повреждающего действия является медленным. Предполо­ жим, что для р (П, п) можно записать уравнение Фоккера —

где а (П, п) — коэффициент сноса; Ъ(П, п) — коэффициент диффузии. Начальным условием при п = 0 является р (П, 0) = б (П). Кроме того, функция р (П, п) должна удовлет­

ворять граничному условию

ность приращения ДП за число циклов от п до п -f Ап не зависит от значения П (п). В этом случае коэффициенты

сноса и диффузии не зависят от П и, кроме того, коэффициенты а и б не зависят от п, что также следует из формулы (4.7).

Решение уравнения (4.8) с учетом граничных и началь­

и представляет собой усеченное нормальное распределение. Поскольку параметры г и у не известны при схематиза­

ции широкополосных процессов по методу полных циклов, значение (4.10) состоит в том, что можно обоснованно ука­ зывать доверительные интервалы для Е (х?) при использо.

вании точечных оценок которые получаются в результате применения метода статистического моделирования.

Величину Xе1 и доверительные интервалы для Е (я*) на­

ходили следующим образом. По спектральной плотности W (f) моделировали от 50 до 100 реализаций случайной на­

грузки длиной в 16 384 отсчета. После выделения экстремумов и схематизации для каждой реализации рассчитывались

величины xd (М ) по формуле (4.6). По полученной выборке

Величина х? (М) согласно формуле (4.10) распределена по

усеченному нормальному закону. Для нескольких типов спект­ ральной плотности с разными значениями d были получе­ ны эмпирические распределения xd (М) на нормальной веро­ ятностной бумаге (рис. 76). На рис. 76, а показаны распре­

деления, полученные по 100 реализациям случайного процес­ са с параметром широкополосности р = 2,1 при d, равном 3;

6; 9 и 12. В каждой реализации было около 700 —800 макси­ мумов. Как видео из рисунка, распределение хорошо описы­ вается нормальным законом. Прямыми на рисунке изобра­ жены распределения, соответствующие параметрам неусе­ ченного гауссовского закона, определенные по соотношениям (4.11). Однако приведенные на рис. 76, б данные статис­

тического моделирования для узкополосного процесса (чис­ ло реализации 60, число максимумов в реализации около 800) показывают весьма значительные отклонения от нормаль­ ного закона распределения. Разница между нормальным и усеченным нормальным законом является существенной только при достаточно больших коэффициентах вариации случайной величины. Поэтому принимали, что при оценке

доверительных интервалов для среднего по реализациям хd

можно использовать предположение о нормальном распре­ делении величины xd (М) в том случае, если коэффициент

вариации var х£ (М) <Z 70—80 %, что накладывает ограни­

чение на длину моделируемых реализаций. Тогда доверитель­ ный интервал для Е (xd) имеет вид

g [ i